106 1. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. §. 107.
§. 10J
Ist die gegebene Gleichung von der reinen quadratischen Form
Ax 2 -pC=0, woraus durch Division mit A die einfachere x 2 -pQ=0
folgt, so hat man das dieser Form fehlende Glied Px als durch sei
nen Coefficienten annullirt anzusehen, also in der allgemeineren
Form P=0, d. h. a+b—0, also b =—a zu setzen. Zu dem Er
gebniß, daß beide Wurzeln der reinen quadratischen Gleichung
x* H- Q, = 0 nur dem Zeichen nach verschieden, dem Inhalt
nach aber einander gleich sind, führt übrigens auch ihre unmittelbare
Vergleichung mit der, oben durch Multiplication von x—a=0 und
x+a=0 gefundenen, Form x a — a 2 =0, indem man Q=a 2 ,
also a=l/Q, d. i. d oder — [/d setzt.
§. 107. ° Bestimmung der Wurzeln. Die im Vorstehen
den für die Coefficienten einer quadratischen Gleichung der allgemei
nen Form x 2 H-PxH-Q=:0 gefundenen Ausdrücke:
(1) P= —(a + b) (2) Q= + ab.
geben von einander unabhängige Beziehungen zwischen den bekannten
Zahlen P, d und den noch unbekannten beiden Wurzeln a, b an,
wonach diese weiter zu bestimmen sind. Waren nun die Gleichungen
für P und Q, (wie sie scheinen) wirklich beide vom ersten Grade, so
würde die Bestimmung der Unbekannten a und b sich in der That
(nach §. 61.) ausführen lassen. Man findet aber, wenn man aus
(1) den Werth von a oder von b, d. i. a=—b—P oder b=—a
—P in (2) substituirt, die Ausdrücke
Q,— — b 2 —bP oder <1 = — a 2 — aP,
also wiederum in Bezug auf jede der Unbekannten a, b eine qua
dratische Gleichung, die mit der zur Auflösung gegebenen'x 2 -P-Px
-p-Q — 0, identisch ist, sofern man a oder b für x substituirt. Der
Grund dieses vergeblichen Versuchs der Auflösung liegt darin, daß
(2) keine Gleichung des ersten, sondern eine solche des zweiten
Grades ist, da sie das Product der beiden Unbekannten enthält (s.
§. 110.), mithin die Behandlung einfacher Gleichungen im vorlie
genden Falle gar nicht anwendbar ist. Dagegen werden sich die
Werthe von a und b aus den Gleichungen (1) und (2) durch P und
d ausdrücken lassen, wenn man die (im §. 89. entwickelten) beiden
Formeln
(a-pb) 2 —a 2 +2ab-pb 2 und (a—b) 2 = a 2 —2ab-pb 2
zu Hülfe nimmt. Ihnen zufolge ist nämlich
1) P 2 =a 2 -p2ab~pb 2
2) — 4d= —4ab
also 3) P 2 — 4tt=a 3 — 2ab-pb 2 = (a—b) 2
oder 4) a—b=l/(P 2 —4d)
und da a-pb——p
so folgt I. a=-^P+4V/(P*-4Q).
II. b=—-‘P — !l/(P 2 —4Q).
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