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1. Abth. Arithmetik. Rangoperationen. 
§. 137. 
n—1 
y. a n = ai f“-i 
VII. f = V/— 
y a, 
VIII. f“-i = —, 
«1 * 
Die Werthe von n ergeben sich ans Formel 4 nnd 8 nur mit Hülfe 
der Logarithmen. Die dritte Formel ist zur directen Berechnung 
von f unbrauchbar. Zwölf andere lasten sich auch hier durch Elimi- 
Nation finden. (S. Aufg. 8 — 13, H. 144.) 
Es ist zu bemerken, daß zwei Verhältnißreihen des nämlichen 
Factors und von gleicher Gliederzahl zu einander im Verhältniß ih 
rer Anfangsglieder stehen. Denn man hat 
(a + af-f- a f *.,. -f-af n ) : (b bf+ bf* + bf“ ) = 
a(l -f- f H- f 2 ... Hh f“ ) : b(1 H- f -f- f a + f“)=a:b. 
§. 137. Abnehmende Progression. Ist der Factor der 
geometrischen Progression ein ächter Bruch, so bewirkt er eine, 
der Gränze o sich immer mehr nähernde, Verminderung ihrer Glie 
der. Da aber deren Anzahl in diesem Falle als unendlich betrach 
tet werden muß, so kann man die Reihe als Entwickelung des Ausdrucks 
j , und diesen selbst als ihren geschlossenen Werth oder ihre 
Summe ansehen. Denn durch wirklich vollzogene Division fin 
det man 
(1) i = a + af + af 1 H- af 3 -h.... af> je. 
d. h. die allgemeine Form der in's Unendliche fortschreitenden Ver 
hältnißreihe. Ist eine solche Reihe auch nicht fähig, im eigentlichen 
Sinne snmmirt zu werden, so darf man doch jenen geschlossenen 
Ausdruck, als dessen unvollständige Entwickelungsform sie er 
scheint, als die Gränze, welcher ihr Totalwerth sich unanshörlich 
nähert und somit als ihre Summe betrachten. Multiplicirt man 
die vorstehende Gleichung auf beiden Seiten durch f, so lassen sich 
nach der allgemeinen Form 
3 f 
(2) ^ = af-j-af* + af* + af 4 -t- af*H- ... -+-af„ ... 
periodische Decimalbrüche auf geschlossene Bruchformen zurückführen, 
indem man durch a die Ziffern der Periode, durch n ihre Anzahl 
und durch f den Factor bezeichnet, denn jeder periodische De- 
cimalbruch fällt unter die Form