H. 140. 6. Capitel. Progressionen. 143
Betrachtet man nun ferner die Glieder irgend einer Progression
Up Uzp Azp »4p ÜZp .... S^p ....
als zu einer vollständigeren, d. h. mit geringeren Aenderungen
fortschreitenden, Reihe gehörig, so entsteht die Aufgabe, die fehlenden
Glieder einer solchen Progression zwischen den gegebenen einzuschal
ten oder zu interpoliren. Sollen allgemein (p— 1) Glieder mit
der Differenz d oder dem Factor -> zwischen je zwei der obigen Reihe
eingeschaltet werden, wodurch solche um p Stetten aus einander
rücken, so geschieht dies nach obigen Sätzen über die Bestimmung
der Differenz oder des Factors aus zwei Gliedern. Man findet
nämlich
(I.) wenn die Reihe eine mit der Differenz 6 fortschreitende
arithmetische Progression ist:
(II.) wenn sie eine geometrische Progression bezeichnet, deren Fac
tor f ist:
SP — l/£~
(S. Aufg. 41—44, §. 144.)
§. 140. * Figurirte Zahlen. Wenn in der allgemeinen Dif-
ferenzreihe a, a ■+• d, a + 2d u. s. f. » — 1 und ä = 1 gesetzt
und die allmähligen Summen der daraus folgenden natürlichen Zah
lenreihe 1, 2, 3, 4 ... . genommen werden, so erhält man eine
neue Reihe der sogenannten Trigonalzahlen, durch deren allmäh-
lige Summation wiederum die Reihe der Pyramidalzahlen ent
steht. Auf diese Weise fortfahrend, kann man höhere Ordnungen
von Zahlenreihen bilden, die sämmtlich unter dem Namen von figu
rirte n Zahlen begriffen werden, weil die einzelnen Glieder der ersten
unter ihnen durch Figuren derselben Art sich versinnlichen lasten.
Eine Uebersicht der ersten neun Reihen dieser figurirten Zahlen, welche
bis zum lOten Gliede derselben reicht und die Entstehung der einen
aus der andern am deutlichsten erkennen läßt, folgt hier: