1. Cap. Combinationslehre.
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metik. §. 157.
uite ohne Aus«
123
d
a
a
b
c
d
1)
:ti
K. 158-
den ist, um die Variationsformen derselben zu bilden v —u (o-1)
(n—2)... (u — (k —1)) oder — n(n —l)(o—2) . . . so—k + 1).
Sollen die Elemente hingegen unbedingt wiederholt werden,
i
so ist zwar auch v —n; aber, weil jeder Form alle Elemente an-
2 3
gehängt werden dürfen, v — n . u = n ? , v = n 3 . n = n 3 ; allge-
k
mein v — n k .
e u. Aus dem
erkennt man sehr
, für zwei (a, b)
vier (a, b, c, d)
1. 2. 3. 4 .... n
ommen, so wird
ii. Denkt man
Elemente in ver-
i Beziehung auf
Zeziehung auf ein
neu. Betrachtet
inschluß der gleis
t 1.2.3.4 . . . d
lb 1. 2. 3 ... r
he zu groß, folg-
l
r*
Aus dem all«
e zur andern er-
nd, als Anzahl
die zweite, weil
) Elemente, die
r = n (n — 1);
jeder einzelnen
- 1) (n-2),
(k — 1) teil mit
nach zu verbin-
H. 158. Anzahl der Combinationsformen. Da aus u Ele-
k
menten sich allgemein v — n (n — 1) (u — 2) . . (n — k + 1) Va
riationsformen der k ten Classe bilden lassen und eben diese Formen
durch die 1 . 2.3.4 . ... kmalige Permutation der Combinations
formen zu k aus n Elementen entstanden sein würden, so findet man
als Anzahl dieser letzter»:
k
k v n (u — 1) (n — 2).. .(u — k + 1)
C — k 12 3 k *
I»
Ist aber unbedingte Wiederholbarkeit der Elemente für die Combina-
jjk
tionen gestattet, so erhält man nicht, wie es scheint, ^^
n (n +1) (n + 2) . . . (n + k — 1) ,
sondern j—2—3 ^ verschiedene Combina-
tionsformen. Denn um aus den n Elementen a, b, c, d . . . .
successtv sämmtliche Combinationsformen (nach §. 154, 4.) z» bil
den, darf man zunächst nur jedes Element einem gleichen oder frü
hern, also a einmal, b zweimal n. s. f. einem andern anhängen.
Dadurch entstehen nun der Reihe nach 1, 2, 3 ... n Combinationö-
formen zu 2 Elementen, nnter denen man wiederum der ersten Form
a, den (1 + 2) ersten b, den (1 + 2 + 3) ersten c u. f. f. an
hängen darf, um die Combinationsformen zu 3 Elementen zu bilden.
Man erhält für diese Classe mithin der Reihe nach 1, 3, 6, 10 ... .
Formen, aus denen durch Anhängen der einzelnen Elemente auf
gleiche Weise 1, 4, 10, 20 . . . Formen zu 4 Elementen sich erge
ben, von denen man jti denen der 5ten Classe u. s. m. fortschreiten
kann. Jene Zahlen aber, welche die Menge der all mäh lig ge
bildeten Combinationsformen angeben, sind keine andern, als
die sogenannten fignrirten Zahlen, wie eine Vergleichung mit
deren (im §. 140. mitgetheilten) Tafel zeigt. Es wird also durch de
ren allgemeinen Ausdruck
n (n -{— 1) (u +- 2) (n —|— 3) . . . (n -t~ k 1)
1.2.3.4 k
zugleich die Anzahl aller Combinationsformen angegeben, welche man
Tklltcnnpf's Mathematik, 4. Aufl. 11