176 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithmetik. §. 170. 
teil Products auf keine andere Weise gebildet sein kann, als durch 
eine solche Zusammenstellung der einzelnen Glieder aus de» gegebe 
nen Binomialfactoren, wobei aus jedem derselben ein Glied ge 
nommen ist, so laßt sich die Bildungsweise eines solchen Products 
auch ohne deffeu allmählige Entwickelung unmittelbar übersehen. 
Zunächst erkennt man sogleich das Product aller ersten Glieder 
a. b . c . d ... in als Anfangsglied, die Potenz x» aber als Schluß 
glied, zwischen denen sämmtliche Glieder mit den geringeren Poten 
zen von x enthalten sein müssen. Sei nun Ir << n, so ist allgemein 
das kte Glied nach dem anfänglichen dadurch gebildet, daß der Fac 
tor x aus Ir verschiedenen Binomen mit den (u — k) Anfangsglie 
dern aus den übrigen auf jede niögliche Weise zusammengestellt 
worden. Eine derartige Zusammenstellung ist aber (nach §. 151.) 
nichts Anderes, als eine Combination zu (n — k) aus n gegebenen 
Elementen a.b.c...m, wobei diese Elemente als Faktoren zu 
betrachten sind. Man darf mithin das kte Glied nach dem anfäng 
lichen im Produkte der gegebenen Binomialfactoren allgemein durch 
C . x k bezeichnen, indem man C auf deren Anfangsglieder bezieht. 
Demnach erhält man: (a 4- x) (b + x) (c + x) (d 4- x) 
(m H- x) = 
ii n—1 ii—2 n—3 1 
C Hh Cx 4- Cx 2 4- Cx J Cx n ~ 1 4- X" 
oder in fallender Anordnung der Potenzen von x: 
(x + a) (x + b) (x 4- c) (x 4- d) (x + m) = 
12 3 u—l u 
x° + Cx"-i + Cx“- 2 -1- Cx"-». . .. Cx + C. 
So ist z. B. das Product der vier Binomialfactoren (x 4- a) 
(x 4- b) (x 4- c) (x 4- d): 
x* 4- a 
x* 4- ab 
x* 4- a b c 
b 
a c 
a b d 
c 
a d 
a c d 
d 
b c 
b c d 
b d 
Würde der Coefficient von x in der Reihe des Products von (x 4- 4) 
(x+3) (x 4- 6) (x + 2) (x 4-7) verlangt, so findet man 
C (4, 3, 6, 2, 7) — 4.3.6.24-4.3.6.74-4.3.6.7 
4-4.6.2.74-3.6.2.7 — 1404. 
(S. Aufg. 11 ii. 12, 184). 
§. 170. Binomialreihe für ganze, positive Exponen 
ten. Unter der Voraussetzung, daß aus n gleichen Binomial 
factoren der Form (a 4- x) ein Product gebildet, oder mit andern 
Worten, daß das Binom (a + x) zur oten Potenz erhoben wer 
den solle, wird man nur in der vorhergehenden Betrachtung die