f 175. 
2. Capitel. Reihen-Entwickelung. 
181 
ständiger Beweis würde sich aber seiner Weitläufigkeit wegen nicht 
für die diese Anfangsgründe eignen. 
H. 174. Unbegränzte Binomialreihen. Obgleich nach dem 
Vorstehenden das Gesetz für die Bildung der Binoniialcoefstcienten 
daS Nämliche bleibt, wenn statt ganzer nnd positiver negative oder 
auch gebrochene Werthe des Exponenten angenommen werden, so 
nnterscheidet sich doch die Entwickelung von (1 -1- x)» in beiden letz 
ten Fällen wesentlich dadurch, daß sie nicht in geschlossener, son 
dern nur in unendlicher oder unbegränzter Reihen form er 
scheinen kann. Denn sei 1) der Exponent n = — m, so wird seine 
fortgesetzte Abnahme (nach §. 170.) zu einer fortgesetzten Zunahme 
der negativen Zahl m, also das Verschwinden irgend eines spä 
tern Binomialcoefsicienten unmöglich. Sei ferner 2) der Exponent 
— so wird jene fortgesetzte Verminderung um ganze Einheiten 
diesen gebrochenen Zahlenwerth eben so wenig jemals erschöpfen, mit 
hin keiner der Coefficienten — 0 werden können. Durch wirkliche 
Entwickelung beider Potenzformen des Binoms erhält man nach 
einigen Umformungen die Reihen! 
I. (1-|-x)-° — 1— nx-f 
n(u-t-l) n(n-+-l)(n-+-2) 
1 . 2 
ii (n 
1.2.3 
x 3 -f-. 
in) n(n—in)(n—2m) 
-x 2 H—— 5^—^—x 
II (1-f-x) m — 1H x —i ^—\ -j ñ ñ ~r 
v ' 1 m in . 2in m . 2m . 3m 
welche nach dem, aus ihren ersten Gliedern leicht erkennbaren, Bil 
dungsgesetze bis zu jedem beliebigen Kten Gliede nnbegränzt erweitert 
werden können. 
Die unbegränzte Form beider hier betrachteten Binominalreihen 
folgt übrigens schon aus der Bedeutung einer Potenz mit ne 
gativem oder gebrochenem Exponenten (nach §. 114.) indem für 
die Ausdrücke' 
>• 
II. (1 *+- x)üT = \/ (1-s-x)» 
nach den Vorschriften der Division und Wurzelausziehung 
keine geschlossene Resultate hervorgehen können. Aufg. 15, 16. §. 184. 
§. 175. Convergenz der Binomialreihe. Soll eine der 
beiden obigen Formen einer unbegränzte» Binominalreihe zu an 
nähernder Berechnung irgend eines bestimmten Zahlenwerthes 
gebraucht werden, so darf dieses nur dann geschehen, wenn man sich 
von ihrer Convergenz überzeugt hat. Nun ist aber der Bestim- 
mungsquotient Q, (nach §. 168): 
ur die Reihe I. Ñ ----- x ( — = - x (l +