212 
1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithm. §. 204. 
und durch Summation derselben dos Endresultat: 
ab«..des — (aA-j-bB..-d-eE)k-f- (aa+b/9..ef-f-f). 
Also ist abc . . . de! durch k theilbar, wenn (aa-f-b/S ... + fe 
Hb f) solches ist. 
§. 203. Anwendnng auf das Decimalsystem. Die Re 
geln für die Prüfung der Theilbarkeit einer gegebenen Zahl Z hän 
gen zunächst von der Grundzahl des Systems ab, wie denn z. B. 
alle durch Sieben theilbare Zahlen augenblicklich erkennbar sind, 
wenn man nach dem heptadischen Systeme rechnen und folglich 
die Potenzen von Sieben — 10, 100, 1000 .... schreiben will, 
während sie in dekadisch gebildeten Zahlen nur mit Mühe erkannt 
werden. Viel einfacher läßt sich die Theilbarkeit solcher durch 2, 4, 
8 .... 3, 6, 9 beurtheilen, wie aus folgender Anwendung des 
obigen allgemeinen Satzes (§. 204. L- 4.) hervorgehen wird. Es 
sei nämlich: 
1. k — 2, so ijl a, ß, y • • . £ = 0, also Z theilbar, wenn 
die letzte Ziffer f es ist. 
2. k —3, so ist k — 1, also Z theilbar, wenn 
die Quersumme der Ziffern (a -f- b -f- c . . . H- f) es ist. 
3. k = 4, so ijl a, ß . . . d = 0 und £ = 2, also Z theil 
bar, wenn (2e + f) es ist. 
4. k — 5, so ist £ — 0, also Z divisibel, wenn 
f es ist. 
5. k —6, so ist «, A . . £ — 4, also Z theilbar, wenn 
4 (a + b + c . . . + e) H- f es ist. 
6. k — 7, so ist die, sich immer wiederholende Reihenfolge der 
Reste: 5, 4, 6, 2, 3, 1, also Z divisibel, wenn (. . . 5a-t-4b + 6c 
+ 2d + 3e + f) es ist. 
7. k — 8, so ist £ — 2, ck —4 und jeder höhere Rest —0, 
also Z theilbar, wenn (4d+2e + f) es ist. 
8 k —9, so ist £ — 1, also Z divisibel, wenn 
die Quersumme (a-t-b-d-e . . . +f) es ist. 
Aufg. 1-4, §. 216. 
§. 204. Theilbarkeit der Produkte. 
1. Ein Product P = a,b.c...p.q ist durch jeden seiner 
Faktoren theilbar; oder ist (§. 201, 2.) ein Vielfaches jedes in ihm 
enthaltenen Factors. 
Dieser Satz folgt (nach §. 201, 1.) unmittelbar aus dem Fun- 
damentalsatze der Multiplikation (§. 12.), daß tuan jeden Factor 
eines Products beliebig versetzen dürfe. Um denselben 
streng und allgemein zu beweisen, denke man sich nach den An 
deutungen