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§. 208. 4. Capitel. Zahlenlehre.
zu finden, sofern man mit irgend einem einfachen Bruche desselben
abbrechen will, der Vereinfachung wegen:
den Zähler des Isten — A, den Nenner des Isten — A'
des 2ten — B, deS 2ten — B'
des 3ten — 6, des 3ten C'
des 4teii — D, des 4teii = D'
des 5ten — E, u. s. f. des 5ten E'u.s.f.
so sind die gesuchten Näherungswerthe des KettenbruchS mit Ein»
fchluß des anfänglichen, der eine ganze Zahl oder Null ist:
cB + A
cB'+A''
bA+1
bA -J- 0 '
dC + B
dC' + B''
d. h. man multiplicire, von de» beiden ersten Näherungswerthen
ausgehend, Zähler und Nenner jedes einzelnen mit dem hinzukom
menden Bruchnenner, und füge jenem Produkte den Zähler, diesem
den Nenner des vorhergehenden Näherungswerthes hinzu. Die
Richtigkeit des Bildungsgesetzes erkennt man ohne Mühe für die
ersten N. W.; allgemein wird sie dadurch erwiesen, daß man unter
der Voraussetzung, der (m)te Näherungswerth des KettenbruchS sei
nach demselben gebildet, d. h. ^ ^ den folgenden (n)ten
findet. Dieses geschieht nun, indem für den un
vollständigen Bruchnenner m der vollständigere Werth m + «n
die Stelle gesetzt wird. Denn alsdann ist:
N Ll
+ K
mnL + L +n K
N ’ “ I/I
( m + i-) +K '
mnL'+L'+nK'
n (raL + K) + L
d (in L ,- f-KO “H L'
und da (mL + K) = M, (mL' + KO — M' vorausgesetzt wurde,
so findet sich das obige Gesetz allgemein bestätigt.
Die successiven N. W. des aus
3307
764
entstandenen Kettenbruchs
für welchen a — 4, b — 3, c — 22, d — 1,
ist, sind demnach:
(»)
h_
1 '
(b)
13
(c)
13.22 H- 4 290
3.22+1“ 67' (d)
6 — 4 und f = 2
290.1 +13 303
67.1 + 3 “70'