224 1. Abth. Arithm. Anfangsgr. d. h. Arithm. K. 213. 
tersuchung ganz auszuschließen, wie dieses im Folgenden durchgängig 
geschehen soll. 
§. 213. Auflösnng von Gleichungen mit zwei Unbe 
kannten. Das einfachste und allgemeinste Verfahren, eine unbe 
stimmte Gleichung des ersten Grades mit zwei Unbekannten, also 
von der Form bix+N'y=K mifjiilösen, besteht darin, daß man aus 
den Coefficienten voll x und y einen Kettenbruch bildet und den letz- 
M N 
teil Näherungswerth von seinem vollständigen Werthe ^7 abzieht. 
Denn es ist (nach §. 209.) die Differenz 
N M NM'-N'M + 1 
N' M— N'M N' M' 
und ihre Form nach Weglaffung des Divisors mit der Gleichung 
Nx — N'y=K vollkommen übereinstimmend, wenn man auf beiden 
Seiten durch db K multiplicirt, mit>rbM'K=x, dbMK=y setzt. 
Da aber die Unbekannten in der Regel mehrere Werthe zulassen und 
die Werthe x — — M'K und y = — MK als negative der For 
derung nicht genügen, so muß man, um die vollständige Form 
ihrer Werthe zu erhalten, ein Vielfaches der gegenseitigen Coefficien- 
ten darin aufnehmen, und deshalb x = N'fdbM'K und y = Nf 
dbMK setzen. Dadurch wird die gegebene Gleichung Nx— N'y 
= K verwandelt in die auflösende: 
N (N'f+M'K) - N' (Nf + MK) — K, 
welche eine begränzte oder auch unbegränzte Menge von Zahlen, die 
eine arithmetische Progression bilden, für x und y zu setzen 
gestattet. 
Wäre hingegen die Form der gegebenen Gleichung Nx + N'y 
— K, so müßte das zweite Glied der obigen Differenz durch dop 
pelte Minusbezeichnung positiv gemacht, und zugleich Nf oder N'f 
negativ gesetzt werden. Folgende Beispiele für beide verschiedene 
Fälle werden das Vorstehende näher erläutern. 
1) 34 x — 41y — 3. 
' . N 34 
y,« ,s.^= iT = ° + 1— 
1+J 
4 + 1 
1 + 1 
6, 
]U K 
also ^7 = -g- und NM' — N'M = 34 X 6 — 41x5= —1. 
Daraus folgt, indem man mit — K =— 3 multiplicirt: 
34 (—18) — 41 (—15) = 3 
oder vollständig durch Einführung von N f und N' f: . 
34 (41£—18) — 41 (34 f — 15) = 3.