Geometrie der Ebene. 
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§. 221. 
eine Kugel denken laßt, die einem Würfel von gegebener Größe an 
Inhalt gleich sei). Die Andeutung für diesen Fall ist die allgemeine 
der Gleichheit: A = B. 
2) A und C können von der nämlichen Gestalt, wenn gleich 
dem räumlichen Inhalte nach verschieden sein (wie etwa zwei Kreise 
von verschiedener Größe). In diesem Falle werden beide Gebilde 
einander ähnlich genannt und man wendet dafür die Bezeichnung 
A oo B an. Offenbar ist aber der Begriff der Aehnlichkeit, als 
einer Uebereinstimmung der Gestalt, nicht ein unmittelbar gegebener, 
sondern erst durch die Betrachtung seiner Merkmale genauer zu be 
stimmen. 
3) A und D können zugleich an Größe und Gestalt über 
einstimmen, also einander durchaus gleich sein (wie etwa zwei 
Kugeln von gleichem Inhalte). Nach dieser Vorstellung lassen beide 
sich zu einem einzigen Gebilde in einander gelegt denken und 
werden kongruent genannt. Die Andeutung einer solchen völli 
gen Gleichheit in Absicht auf Gestalt und Größe oder Congruenz 
i st A £2 I ). 
Es ergeben sich hieraus für die geometrischen Untersuchungen 
drei verschiedene Richtungen, nämlich: die Betrachtung der absolu 
ten Gleichheit zweier Gebilde, die der Gleichheit der Gestalt 
und endlich die der Gleichheit der Größe, oder mit andern Wor 
ten: die Betrachtungen über Congruenz, Aehnlichkeit und Inhaltsbe 
stimmung. 
§. 221. Geometrische Beweisführung. Da jedes räum 
liche Gebilde in einer sichtbaren Darstellung (durch Zeichnung 
oder Modell) nur als ein einzelnes erscheint, statt dessen eben so 
wohl unzählige andere (an Gestalt oder an Größe verschiedene) 
möglich wären, so ist jene Darstellung so zu behandeln, wie es mit 
jeder, den vorgestellten Bedingungen entsprechenden, andern auf 
gleiche Weise geschehen könnte. Dadurch aber erhält die gewählte 
besondere Darstellung die Bedeutung einer beliebigen von der 
vorausgesetzten Beschaffenheit, und erscheint in sofern als völlig 
allgemeine Darstellung des betrachteten Falles. Soll nun an 
ihr der Beweis für bestimmte geometrische Lehren geführt werden, 
so geschieht dieses: 
1) direct, indem man durch logisch richtige Folgerungen aus 
der (nie zu bestreitenden) Voraussetzung und aus Wahrheiten, welche 
an sich einleuchtend oder bereits anderweitig erwiesen sind, die Noth 
wendigkeit des Behaupteten darthut; 
2) indirekt, indem man das Gegentheil des Behaupteten 
vorläufig als möglich annimmt, dann aber nachweist, daß die daraus 
mit Nothwendigkeit sich ergebenden Folgerungen entweder der Vor 
aussetzung oder andern unbestreitbaren Wahrheiten widersprechen,