236 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 223. 
denn in beiden Fällen erscheint die Behauptung des Gegen 
theils unzulässig, und deshalb die des aufgesiellten Satzes als die 
allein gültige. 
Zu beiden Arten von Beweisen gebraucht die Geometrie außer 
den, für Größen jeder Art geltenden, Axiomen (§. 6.) einerseits das 
ihr eigenthümliche Mittel geeigneter Hülfsconstructionen zu ge 
schickter Verbindung oder Zerlegung der gegebenen Gebilde, anderer 
seits aber auch die Resultate, welche die Operationen der Arithme 
tik gewähren, sofern man diese als allgemeine Gr'ößenlehre be 
trachtet, welche hier auf die besondere Vorstellung räumlicher 
Größen bezogen wird. 
Erstes Capitel. 
Die Linien und Winkel. 
§. 222. Erzeugung der Linien. (Fig. 1.) Unter allen 
denkbaren Bewegungen eines Punktes A ist die einfachste die in 
gerader Linie AA'. Es ist unmöglich, von einer solchen eine 
Erklärung zu geben, wodurch ihr Begriff auf einfachere Vorstellun 
gen zurückgeführt würde, da sie (nach §. 219.) zu dem unmittelbar 
gegebenen Grundvorstellun^cn der Geometrie gehört. Jede 
andere Linie, die weder selbst gerade, noch aus geraden zusammenge 
setzt ist, heißt krumm. Offenbar können Linien solcher Art in un 
zähliger Menge entstehen, indem ein Punkt a des Raumes nach 
einem andern stetig fortschreitet (Fig. 2.). Findet dieser Fortschritt 
des Punktes in einer Fläche Statt, so kann dieselbe entweder eben 
oder gekrümmt sein. Eine ebene ist sie, wenn jede gerade Verbin 
dungslinie zwei beliebig in ihr gewählter Punkte vollständig mit ihr 
zusammenfällt; eine gekrümmte Fläche dagegen, wenn dieses 
nicht durchgängig der Fall ist. Die Geometrie der Ebene setzt — 
wie ihr Name sagt — alle Linien, nebst ihren Verbindungen, in 
ebener Fläche voraus. 
§. 223. Sätze über die gerade Linie. In der ursprüngli 
chen Vorstellung der geraden Linie liegen zugleich folgende Eigen 
schaften derselben: 
1. Durch jeden Punkt C einer Ebene sind in derselben unzäh 
lig viele Gerade möglich; oder: um jeden Punkt 1) giebt es unzäh 
lige verschiedene Richtungen. 
2. Ist außer C noch ein zweiter Punkt A gegeben, so ist durch