238 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 225.
einen derselben nimmt. Die Linie A ist alsdann Dividend, m
aber Divisor zu nennen und die Division als Theilung (§. 14.)
zu betrachten. Wären der Divisoren mehre, z. B. m, v, p, q gege
ben, so würde die Theilung von A entweder allmählig, oder auch
auf einmal nämlich durch Theilung in (m X n X p X q) gleiche
Theile, vorgenommen werden können.
Anmerkung. Die Theilung einer Geraden in eine vorgeschriebene
Menge gleicher Theile muß vorläufig versuchsweise geschehen, bis
spätere Betrachtungen über die Congruen; und die Aehnlichkeit der
Figuren directe Theilungsmethoden an die Hand geben. sAufg. 3 —
6, §. 234.]
§. 225. Messnng gerader Linien. Um die Länge einer
begränzten Geraden A zu bestimmen, muß man eine andere B zu
ihrem Maaße oder zur Längen-Ein heit wählen, und diese wie
derholt ans ihr abtragen. Die Angabe w, wie oft das Maaß in der
gegebenen Geraden enthalten sei, ist dann der Zahlen werth der
selben. Der Werth einer geraden Linie wird durch eine ganze Zahl
ausgedrückt, wenn das gewählte Maaß, ohne einen Rest zu lasten,
wiederholt in derselben abgetragen werden kann; bleibt hingegen ein
Stück A' der Geraden A übrig, so ist eine Theilung des Maaßes B
in kleinere Theile nöthig, um mit diesen die Messung des Nestes
vorzunehmen, und man erhält als Werth desselben eine gebrochene
Zahl. Wird eine gerade Linie durch verschiedene Maaße B, C, D
. . . gemessen, so ändern sich nothwendig die Angaben ihrer Länge,
wonach der Zahlenwerth einer Linie nur dann Bedeutung hat, wenn
das Maaß, worauf er stch bezieht, als gegeben anzusehen ist.
Um-das größte gemeinschaftliche Maaß zweier Geraden
A und B (Fig. 1.) zu finden, messe man die größere B durch die
kleinere A, diese durch den Rest B' der ersten, dann B' durch den
entstehenden Rest A' der zweiten n. s. f. immer das frühere Maaß
mit dem Reste des Gemessenen, bis kein Stück mehr übrig bleibt.
Sei die Gerade A in der größeren B z. B. 2mal abgetragen,
und nach 3maligem Abtragen von B' auf A noch der Rest A' ge
blieben, dieser aber in B' genau 4 mal enthalten, so hat man folgende
Gleichungen:
(1) B' = 4 . A'.
(2) A =s 3 . B' -+- A' ss 3.4A' -+- A' = 13 . A'.
(3) B — 2 . A H- B = 2.13A' Hh 4A = 30 . A'.
Demnach enthalten die Linien A und B das nämliche Maaß, jene
13, diese 30mal. Zugleich muß A' für beide das größte gemein
schaftliche Maaß sein: denn angenommen, es gebe eine solche Linie
C>A', so müßte C in A und B, also nach (3) auch in B, und
nach (2) oder (1) auch in A’ f d. h. es müßte eine größere Linie in