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1. Capitel. Linien und Winkel.
§ 232.
7. (Fiaf. 3.) Scheitelwinkel sind einander gleich.
Denn W. ACB -h ACG = 2R und FCG = ACG = 2R,
also ACB = FCG.
8. (Fix. 17.) Zwei Gerade VF, EG, welche mit einer drit
ten AB gleicke und gleichliegcnde Winkel (o = q oder p = r) bil
den, sind einander parallel.
Denn da o = q und q = x, also o = x lind p = r, r = y,
also p = y ist, so läßt sich der Theil BABE der Ebene so auf
GBAF legen, daß AB mit BA, o mit x und p mit y zusam
menfallen. Angenommen nun, AB und BE schnitten einander
über AB in irgend einem Punkte F, )o müßten BG und AF, mit
denen sie nach Vorstehendem zusammenfallen, einander in irgend
einem Punkte unter AB durchschneiden. Folglich wären BF
und EG zwei gerade Verbindungslinien der Punkte F, Q, wel
ches (nach §. 223, 2.) unmöglich ist. Da sie demnach einander
nicht schneiden können, so sind sie parallel.
Zusatz I Zwei Gerade BF, EG, welche mit einer dritten AB
zwei innere Winkel (o und p) bilden, deren Summe zwei rechte
beträgt, sind parallel.
Zusatz II. Zwei Gerade CB, EF (Fix. 16.), welche senkrecht
auf einer dritten AB stehen, sind einander parallel.
Anmerkung. Auf L. 8. gründet sich das Verfahren (Fig. 19.) Pa,
rallelen zu ziehen, indem man ein bewegliches Winkel-Lineal BGF an
einem unbeweglichen Lineal BD verschiebt, weil hiebei die Geraden
GF und DE mit der Linie BD stets gleiche Winkel (p---q) bilden.
(Altfg. 22, 23, §. 234.)
9. (Fix. 18.) Werden zwei Convergenten AC, BB von einer
dritten Geraden AF geschnitten, so beträgt die Sunime der innern
Winkel, BAC und ABB, mehr oder weniger als zwei rechte.
Denn angenommen, sie betrüge 2R, so wären die Geraden AC,
BB (nach L. 8, Zusatz I.) einander parallel, welches der Vg. wi
derspricht.
10. (Fix. 5.) Auf eine Gerade AC kann aus einem außer
ihr liegenden Punkte B nur eine Senkrechte BC gezogen werden.
Denn angenommen, es gebe eine zweite Senkrechte BA, so wür
den die Convergenten BC, BA von AC unter Winkeln geschnit
ten, deren Summe — 2R wäre, welches (nach L. 9.) unmög
lich ist.
11. (Fix. 17.) Durch einen Punkt B außer einer Geraden
BF kann nur eine derselben parallele Gerade BE gezogen werden.
Dieser Satz ist eben so wenig, als der, daß man zwischen zwei
Punkten nur eine Gerade ziehen könne, eines Beweises (d. h.
der Zurückführung auf einfachere, einleuchtendere Wahrheiten) fähig.
12. (Fix. 17.) Werden zwei Parallelen BF, EG von einer