H. 237. 2. Capitel. Geradlinige Figuren. 281
CE = CB so ist Dr. CAB £2 CDE, also W- A — I) und des
halb (nach L. 6. Zus. l.) << 8.
9. (Fig. 10.) Der größere von zwei Winkeln im Dreieck hat
immer die größere Gegenseite.
Denn sei im Dreieck ALE W. q W. y, so ist es, (nach L-8.)
unmöglich, daß AB<;BF), nnd eben so (nach L. 3.), daß AB
= BE sei, da beide Annahmen zu einem Widerspruch gegen die
Vg. fuhren würden.
Zusatz I. Von allen Geraden, die von einem Punkte außer
einer Geraden AD auf dieselbe gezogen werden können, ist die Senk
rechte BC die kürzeste.
Znsatz II. Von zwei andern beliebigen Geraden AB, BE ist
die der Senkrechten zunächst liegende die kürzere.
Zusatz III. Die Senkrechte BC ist als die kürzeste aller aus
B auf AD zuziehenden Geraden, welche mit Ausnahme ihrer von unbe
stimmter Länge sind, als Maaß des Abstandes zwischen B und
AD anzusehen.
10. (Fig. 10.) Die Summe zweier Dreiecksseiten ist immer
größer, ihr Unterschied hingegen immer kleiner, als die dritte Seite:
Denn I. verlängert man AC um CD — CB, und zieht BD, so
ist W. CDB = CBD, also W. ABD > D, und deshalb (»ach
L. 9.) AD oder (AC+ CB) > AB.
II. Schneidet man auf CA eine Länge CE — CB ab, so ist der
Unterschied der Seiten AE riothwendig AB, weil W- o — p,
also q ein stumpfer W. ist. sAufg. 11. §. 243.)
11. (Fig. 11.) Die Summe zweier Seiten iin Dreieck ist im
mer größer, als die zweier aus einem innern Punkte D nach den
Endpunkten der dritten gezogenen Linien DA, DB.
Denn da nach der Verlängerung AE-f-EB;>AD-}-DB, und
wiederum AC CB>AE+EB, so ist um so mehr AC4-CB
A D -4— D B.
12. (Fig. I I.) Der von zwei Dreiecksseiten eingeschlossene Win
kel C ist kleiner, als der, welchen zwei, von den Endpunkten der drit
ten nach einem innern Punkte D gezogene Linie einschließen.
Denn da, (nach L> 6.) W. D >- E und wiederum W. E ;> C,
so ist um so viel mehr W. D>- C.
13. (Fig. 12.) Sind ui zwei Dreiecken zwei Seiten gleich,
aber die eingeschlossenen Winkel ungleich, so hat der größere derselben
auch die größere Gegenseite.
Denn wenn AC == DF 1 , BC = FE, aber W. C > F, und das
Dr. AGCQQDEF, an AC gelegt und GB gezogen wird, so bil
den die Seiten AB, BG, AG das Dr. ABG. In diesem ist
aber W. ABG < AGB, weil (nach L. 3.) W. BGC — GBC,