286 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 262.
nicht eine jede unmittelbar, wie eine gerade Linie durch wiederhol
tes Abtragen des Maaßes gemessen werden; vielmehr scheinen nur
Rechtecke einer solchen Ausmessung fähig zu sein, weil diese allein aus
Quadraten sich zusammensetzen lassen. Indessen wird auch dieses
schon hinreichen, wenn nur Figuren von anderer Gestalt in Rechtecke
gleichen Inhalts verwandelt werden können. Ja es bedarf nicht
einmal der vorläufigen Verwandlung behufs einer wirklichen Aus
messung gegebener Figuren, wenn wir durch Vergleichung ihrer
bestimmenden Stücke sie auf einander zu beziehen, und so mittel
barer Weise ihr Verhältniß zum Flächenmaaße anzugeben vermö
gen. Die Untersuchung über die Flächenräume der Figuren hat
also zunächst eine Vergleichung zwischen denselben anzustellen, um
ihre Gleichheit oder das Verhältniß des einen zum andern zu
erkennen und dann daraus die Grundsätze ihrer Inhaltsbestim
mung durch Zahlen abzuleiten.
§. 262. Lehrsätze über die Gleichheit der Flächen räum e
1. (Fig. 69.) Parallelogramme auf gleichen Grundlinien und
zwischen denselben Parallelen (von gleicher Höhe) sind inhaltsgleich.
Denn wenn beide mit der gleichen Grundlinie AB auf einander
gelegt werden, so ist wegen der Parallelen AD, CB; AF, BE und
der gleichen Seiten DC -+- CF = EF -f- CF das Dreieck
DAF CBE, und folglich nach Abzug dieser gleichen Dreiecke
von der ganzen Figur ABCv — ABEF.
2. (Fig. 69.) Dreiecke auf gleichen Grundlinien und zwischen
denselben Parallelen von gleicher Höhe find inhaltsgleich.
Man betrachte die Dr. ABC und ABF als Hälften der Paralle
logramme ABCv und ABEF, so folgt der Beweis aus L. I.
Zusatz. Jedes Dreieck ABC, welches mit einem Parallelogramm
ABEF gleiche Grundlinie und Höhe hat, ist halb so groß, als
dasselbe.
3. (Fig. 70.) Wenn durch einen beliebigen Punkt in der
Diagonale eines Parallelogramms mit dessen Seiten Parallelen ge
zogen werden, so sind die beiden nicht durchschnittenen Stücke ein
ander gleich.
Denn da die Dr. ABC, ABC, so wie MGC, MFC, und AEM,
AHM congruent sind, so entsteht durch Abziehen der kleineren Dr.
von den beiden größeren EBFM — MGDH.
4. (Fig. 72.) Das über der Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks construirte Quadrat ist den beiden Quadraten der Catheten
an Flächeninhalt gleich. (Lehrsatz des Pythagoras.)
Es ist nämlich AELI = ACGF, weil die Hälften beider (nach
L. 2, Zus.) die Dr. ABF und ACE, wegen Uebereinstimmung
zweier Seiten und des eingeschlossenen Winkels einander gleich