294 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 267. 
während ihre spitzen Winkel und Catheten einer fortwährenden Ver 
änderung unterworfen sind. 
Auch wenn bei weiter fortgesetzter Drehung des Schenkels der 
mit der anfänglichen Richtung gebildete Winkel das Maaß eines 
rechten überschreitet, wird durch Fällung einer Senkrechten NM auf 
die Verlängert!ng von CA ein rechtwinkliges Dreieck gebildet, 
worin ein eben solcher Zusammenhang zwischen den Catheten und 
Winkeln herrscht. Da dieselbe Bemerkung sich für die Lage CO 
oder CU des drehenden Schenkels wiederholt, so sieht man leicht, daß 
die Fällung einer Senkrechten von dem einen auf die 
Richtung des andern Schenkels ein sehr einfaches Mittel ist, 
aus der Größe und Lage dieser Linie auf die Größe des entsprechen 
den Winkels zu schließen. Man kann in Beziehung auf die beiden 
Hauptrichtungen einer Ebene, welche durch zwei einander senkrecht 
schneidende gerade Linien AL und FR. versinnlicht werden, eine solche 
vom Endpunkt einer beliebigen geneigten Linie CU gefällte Senkrechte 
ED ihre vertikale, und das von ihr abgeschnittene Stück CD ihre 
horizontale Projection nennen; durch Länge und Richtung dieser 
beiden Projektionen wird dann die Lage der Linie (d. h. der Winkel, 
welchen sie mit CA bildet) vollständig bestimmt, z. B. 
1) die Lage CE oder W- ACE durch CD und CE. 
2) CN oder W. ACN CM und MN. 
3) CO oder W. ACO CM und MO. 
4) CU oder W. ACU CD und DU. 
Denkt man sich den drehenden Schenkel von unveränderlicher Länge, 
— kl, mithin als Radius eines durch seinen Endpunkt beschriebenen 
Kreises, so folgt aus dem Vorstehenden, daß für jede Lage desselben, 
wenn man seine horizontale Projection durch x, die vertikale durch y 
bezeichnet, die Gleichung 
a 2 = x 2 + y 2 
stattfinden muß, die als die eigentliche Grundlage aller Betrachtun 
gen der Goniometrie anzusehen ist. 
§. 268. Winkelfunktionen. Da die Projektionen einer ge 
raden Linie a als Catheten eines rechtwinkligen Dreiecks, wovon sie 
selbst Hypotenuse ist, nothwendig kleiner sein müssen, so läßt sich 
allgemein 
(I) x — p . a (2) y = q . a 
setzen, wenn man mit den Faktoren p und q ächte B r ü ch e bezeich 
net, weil durch deren Multiplikation nothwendig Zahlen < a her 
vorgehen. Und da der jedesmalige Werth dieser ächten Brüche von 
der Form des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks, d. h. von der 
Größe seiner Winkel, abhängen wird, so darf man sie Winkelfunk 
tionen (goniometrische Functionen) nennen. Derjenige ächte Bruch, 
womit man a zu multipliciren hat, um den Werth der dem Winkel