§. 273. 
6. Capitel. Ebene Trigonometrie. 
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§. 272. Vorzeichen der Winkelfunktionen. Der Ge 
gensatz der Lage, welcher bei den Projectionen des drehenden 
Schenkels zum Vorschein kommt, sobald der veränderliche Winkel z 
zu einem stumpfen oder überstumpfen anwächst, nöthigt (nach §. 231.), 
die entsprechenden Zahlenwerthe der Winkelfunktionen mit den 
Vorzeichen des Positiven oder Negativen zu versehen, je nach 
dem jener Schenkel seine Lage im ersten, zweiten, dritten oder vierten 
Quadranten hat. 
Bezeichnet CA für die horizontale, CF für die vertikale Projec 
tion die positive Richtung, also CB für jene, CR für diese die 
negative, so hat man sich in dem oben (§. 268.) aufgestellten 
Ausdrücken 
(l) x — p . a (2) y = q . a 
unter p und q nicht nur ächt-gebrochene, sondern zugleich abwech 
selnd positive und negative Faktoren zu denken, wonach die Win 
kelfunktionen des Sinus und Cosinus (und nicht minder die von ih 
nen abgeleiteten der Tangente und Cotangente) der jedesmaligen 
Größe des Winkels gemäß bald als positive, bald als negative Zah 
len erscheinen. 
Mit dieser nothwendigen Berücksichtigung des Zusammenhangs 
zwischen der Lage der Projektionen y, x und der entsprechenden Be 
zeichnung ihrer Zahlenwerthe findet man 
I. Im ersten Quadranten, wo z = ACE: 
sin z und cos z beide positiv; 
folglich auch lg z und cot z positiv. 
II. Im zweiten Quadranten, wo z = ACN: 
sin z positiv und cos z negativ; 
folglich tg z und cot z beide negativ. 
III. Im dritten Quadranten, wo z — A CO: 
sin z und cos z beide negativ; 
folglich tg z nnd cot z beide positiv; 
IV. Im vierten Quadranten, wo z = ACU: 
sin z negativ und cos z positiv; 
folglich tg z nnd cot z beide negativ. 
§. 273. Reduction der Winkelfunktionen. Der Zusam 
menhang, worin stumpfe Winkel aller Art mit einem spitzen Win 
kel u stehen, der als Ergänzung oder Ucbcrschuß derselben von R, 
2R, 3R oder 4R angesehen werden kann, macht es möglich, ihre 
Functionen auf die eines solchen Winkels zu reduciren und dadurch 
einfacher auszudrücken. So ergeben sich aus den vorstehenden Be 
trachtungen über die Lage der Projectionen und die entsprechende 
positive oder negative Bezeichnung der Winkelfunktionen mit Hin 
blick auf die Fig. 80. folgende vereinfachende Beziehungen unter den 
Functionen ergänzender Winkel: