302 2. Abth. Geometrie. Geometrie der Ebene. §. 277. 
§. 277. Berechnung der gou. Functionen. Die vor 
stehenden Formel», vermöge deren man aus den Functionen zweier 
Winkel « und y Functionen ihrer (Summe oder Differenz, oder 
auch aus denen eines beliebigen Winkels u andere des doppelten 
oder halben Winkels berechnen kann, erfordern für den Entwurf 
einer Tabelle goniometrifcher Functionen nur die unmittelbare 
Angabe einiger von ihnen für bestimmte Winkel, weil daraus eine 
unendliche Menge anderer nach und nach abgeleitet werden können. 
Diejenigen Winkel, wofür die Zahlenwerthe der Sinus als halbe 
Sehnen (ix) der doppelten Winkel ohne Weiteres hervorgehen, sind 
die Winkel von 30°, 45° und 18°. 
Es ist nämlich -¡x als siu 30° — a, folglich 
608 30° — v/i — i — z 1/ 37 
oder: 
sin 30° — cos 60° = 0,50000; tg $0° — cot 60° — 0,57735 
cos 30° — sin 60° — 0,86602; cot 30° = tg 60“ = 1,73205 
Ferner findet man -’x als Sin 45° — J^/2, also siu 45® = cos 
45° = 0,70710; tg45° — cot 45° = 1,00000 
Für die Sehne des Winkels von 36° ergiebt sich aus der 
(nach H. 357,.L. 5. Zusatz folgenden) Gleichung 
— — oder x- -j- x — 1 der Zahlenwerth x — ^ ([/' 5 — 1) 
Also ist {x als siu 18° — ^(\/5— 1) und daraus: 
sin 18° ~= cos 72° — 0,30901; tg 18° — cot 72° — 0,32491 
cos 18° — sin 72“ — 0,95105; cot 18° = tg 72° = 3,07768 
Setzt man nun in (1) und (3) « — 45°, y = 30°, so wird 
sin 72° — cos 15° — 0,96592; tg 75° — cot 15° — 3,73205 
cos 75° — sin 15° — 0,25881; cot 75° — tg 15° ^ 0,26794 
Eben so giebt die Substitution « — 30°, 18°: 
sin 48° = cos 42° — 0,74314: tg 48° — cot 42° — 1,11061 
cos 48° — sin 42° — 0,66913; cot 48° — tg 42° — 0,90040 
und man kann auf diesen: Wege, indem man die gefundencri Func 
tionen »euer Winkel benutzt, immer andere ableiten. Durch Anwen 
dung der Formeln (17) .... (20) findet man ferner neue Func 
tionen für die Hälfte oder das Doppelte der gegebenen Winkel. 
Ski , SS. u = 48", so ist cos 24“ — j/( 1+ ^ 6< —1 
und siu 24« = 
oder: 
sin 24° — cos 66° — 0,40673; tg 24° — cot 66° — 0,44522 
cos 24° — sin 66° — 0,91354; cot 24° — tg 66° — 2,24603 
Oder man setze « — 42°, so ist sin 84° — 2 . sin 42° . cos 42°, 
also: