14 1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 11.
trahiren solle. Nach den beiden gleichbedeutenden Ausdrücken a—b=r
und a=b-f-r findet man die Differenz r auf doppelte Weise: ent
weder indem man a um b Einheiten vermindert, oder indem man b
um so viele Einheiten vermehrt, daß dadurch die Summe a gebildet
wird. So entsteht z. B. die Differenz der Zahlen 12 und 7, indem
man entweder 7 Einheiten von 12 hinwegnimmt oder so viele Einheiten
zu 7 hinzufügt, bis die Summe 12 zum Vorschein kommt.
§.11. Multiplication. Wenn die nämliche Zahl a im Gan
zen b mal gegeben ist, so verwandelt sich die Addition dieser gleichen
Summanden in eine Multiplication; z. B.
(a-l-a-k-a-4-a-1-a) —amal (1 —1— 1 —1 —1 —|— l)=amal 5.
Man darf also sagen, es werde eine Zahl a durch eine andere
b multiplicirt, indem man aus ihr auf die nämliche Weise,
wie b aus der Einheit entsteht, eine dritte Zahl P bildet.
Hiebei wird a Multiplicand, b Multiplicator und die aus bei
den Zahlen hervorgehende P das Product von a und b genannt.
Die Andeutung der Multiplication ist a-b oder aXb=P. Soll
dieses Product auf's Neue durch eine Zahl c, dann das Resultat
durch 6, u. s. w. multiplicirt werden, so deutet man dies durch die
einfache Reihenfolge der Zahlen a, b, c, <1 ... an, d. h. man setzt:
P—a*b*c«d .... oder P=aXbXcXd ....
z. B. 120=3.2.4.5=3X2X4X5.
Auch pflegt man wohl zwischen Buchstaben die Andeutung der Mul
tiplication ganz wegzulassen und einfacher P=a kr e 6 .... zu schrei
ben. Die in solchen Formen zu allmähliger Multiplication gegebenen
Zahlen werden mit dem gemeinschaftlichen Namen Facto re n belegt.
Daß man ausdrücklich aus einzelnen unter ihnen ein Product bilden
solle, kann man durch Einklammerung der Faktoren bezeichnen. So
deutet man z. B. durch a(krc)ä an, daß a mit dem Produkte be und
die hieraus entstehende Zahl wieder mit ä multiplicirt werden soll.
Anmerkung. Von den beiden Factoren eines Products ad kann nur
der Multiplicand eine benannte Zahl sein. Enthält es mehre Fac
toren, a.b.c.d, so ist höchstens einer derselben als benannt und des
halb als Multiplicand zu betrachten.
§ 12. Fundamentalsatz der Multiplication. Jedes Pro
dukt aus ganzen Zahlen bleibt ungeändert, wenn man seine Factoren
in beliebiger Ordnung multiplicirt.
Zum Beweise dieses wichtigen Satzes nehme man anfänglich
nur zwei Factoren (z. B- 4 und 6) an. Dann ist es nach der An
deutung des, in seine Einheiten ausgelosten, Products: