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§. 293. 1. Capitel. Linien, Ebenen und Winkel. 
Denn cnis der Voraussetzung, daß AI? auf BMC, MR auf AMB, 
und MQ auf AMC senkrecht stehen, folgt, daß MB zugleich mit 
MP und MR, MA mit MR und MQ, MC mit MO, und MP 
rechte Winkel bilden, also (nach §. 290, L. 4), daß MA. auf QMR, 
MB auf PMR und MC auf PMQ senkrecht stehen muffe. 
Zusatz I. Es ist für eine gegebene Ecke nur eine Polarecke 
möglich, weil nicht mehrere Senkrechte aus dem nämlichen Punkte 
einer Ebene errichtet werden können. 
Zusatz II. Die ursprünglich gedachte Ecke kann wiederum als 
abgeleitet von ihrer Polarecke betrachtet werden. 
14. (Fig. 100 ) In einer Polarecke (M)PQR sind die Kanten- 
winkel Supplemente von den Flächenwinkeln der gegebenen Ecke 
(M)ABC. 
Denn denkt man sich die Ebenen AMB und BMC erweitert, bis 
sie PMR in MX und MO durchschneiden, so ist (nach L. 13) BM 
eine Senkrechte auf MX und MO, folglich XMO der Flächen 
winkel der Ebenen AMB und BMC. Da nun ferner (nach 
§. 290, L. 4) RM zu MX und PM zu MO senkrecht ist, so ist 
W. XMP-1-PM8 — SB. XMP-FXMO, also W. XMO — 
PM8 oder (2R —PMR). 
15. Durch die drei Flächenwinkel einer Ecke werden zugleich 
die drei Kautenwinkel (Seitenflächen) derselben bestimmt. 
Denn nach L. 13 und 14 bestimmen die Flächenwinkel einer Ecke 
die Kantenwinkel ihrer Polarecke und deren Flächenwinkel wiederum 
die Kanteuwinkel der ersten. 
16. (Fig. 97.) Die Summe der drei Kanteuwinkel einer Ecke 
beträgt stets weniger, als vier rechte Winkel. 
Denn denkt man sich durch die Ecke (A)MBC eine Ebene MBC 
gelegt und einen beliebigen Punkt P im Dreieck MBC mit dessen 
Eckpunkten verbunden, so liegen sowohl um A als um P drei 
Dreiecke, deren Winkel zusammen 6R betragen. Die sechs untern 
Winkel in den Seitendreiecken betragen aber nothwendig mehr, 
als die in dem Durchschnittsdreieck enthaltenen und lassen daher, 
von 6R abgezogen, einen kleineren Rest als diese, d. h. weniger 
als 6R — 2R oder 4R. 
17. (Fig. 100.) Die Summe der drei Flächenwinkel einer 
Ecke ist kleiner, als 6R und größer, als 2R. 
Denn da (nach L. 14) RMQ = 2R — a, PMR — 2R — ß, 
QMP — 211 — y so ist + / = — (RMQ 4- PMR 
4- QMP), d. i. m 4- ß 4- y ■< 6R und > 2R, da (nach L. 16) 
RMQ 4- PMR + PMQ < 4R ist. 
18. (Fig. 101.) Zwei Verticalecken sind symmetrisch. 
Denn die Seitenflächen derselben sind als Verticalwinkel einander 
gleich, also AMC = FMD, AMB —0MB, BMC — FME;