1. Capitel. Die ganzen Zahlen. 
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!N. §. 11. 
§. 13. 1. Capitel. Die ganzen Zahlen. 18 
cken a—b=r 
lte Weise: ent- 
indem man b 
nme a gebildet 
und 7, indem 
viele Einheiten 
mmt. 
ahl a im Gan- 
dieser gleichen 
4 
6 111111 
111111 
111111 
111111 
völlig gleichgültig, ob man 4 Einheiten 6 mal, oder 6 Einheiten 
4mal nimmt, also 4.6—6.4. 
Setzt man allgemein ein Product aus beliebig vielen Faktoren 
z. B. P—4.6.5.9.7, und führt einen neuen Factor (3) in dieses 
Product ein, so kann derselbe folgende Stellungen erhalten: 
=amsll 5. 
eine andere 
nliche Weise, 
ihl P bildet, 
id die aus bei- 
nd b genannt. 
b=P. Soll 
das Resultat 
dies durch die 
h. man setzt: 
(1) 3.4.6.5.9.7 (2) 4.3.6.5.9.7 (3) 4.6.3.5.9.7 
(4) 4.6.5.3.9.7 (5) 4.6.5.9.3.7 (6) 4. 6.5.9.7.3. 
Nach (1) und (2) soll statt des Multiplicands 4 in P das 3 malige 
desselben, also ein Multiplikand von 12 Einheiten eben so oft ge 
setzt werden, als man früher die 4 Einheiten setzte. Hiedurch erhält 
man nothwendig das 3malige des früheren Products, also Px3. 
Nach (3) soll das Product 4.6 dreifach genommen, also ein In 
halt von 24.3—72 Einheiten eben so oft gesetzt werden, als man 
früher die 4.6=24 Einheiten setzte, wodurch man wiederum noth 
wendig 3 mal so viel Einheiten, als anfangs, erhält. 
Nach (4) wird die Verdreifachung der Einheiten an dem Pro 
dukte 4.6.5 = 120, nach (5) an 4.6.5.9=1080 vorgenommen und 
ung der Mul- 
... zu schrei- 
üon gegebenen 
rtoren belegt. 
Product bilden 
zeichnen. So 
odukte bo und 
werden sott. 
! ab kann nur 
es mehre Fac- 
nannt und des- 
die entstehende Einheitsmenge eben so oft gesetzt, als man früherhin 
den dritten Theil dieser Einheiten setzte. 
Folglich muß bei allen Stellungen des neuen Factors 3 das 
hervorgehende Product mit dem in (6) angedeuteten, d. h. mit Px3 
völlig übereinstimmen. Was hier aber von dem Factor 3 des Pro 
ducts 4.6.5.9.7.3 gesagt ist, gilt offenbar eben sowohl von jedem 
der übrigen, woraus sich ergiebt, daß man ohne Aenderung seines 
Inhalts die Faktoren eines Products beliebig unter einander versetzen 
kann. (Aufg. 6, 7 §. 20.) 
Anmerkung. Sind unter den Faetoren eines Products mehre einan 
der gleich, wie z. B. abb caa bc=aaa bbb cc, so pflegt man 
zur Abkürzung neben den verschiedenen Faetoren durch eine besondere 
>. Jedes Pro- 
seine Faktoren 
Zahl den Exponenten anzudeuten, wie oft ein jeder vorhanden sei. 
Demnach ist aaa----a', bbbbb = b 5 zu setzen und am kürzesten 
durch a zu 3, b zu 3 auszusprechen. Sollen mehre Produkte mit glei- 
an anfänglich 
nach der An- 
ducts: 
chen Faetoren multiplicirt werden, so braucht man nur die Expo 
nenten derselben zu addiren, da im Totalproducte alle gleiche Fak 
toren zusammen vorkommen müssen. So ist z. B. 
a 4 xa 3 i=a<+3= a 7 ;a 2 b 4 xa 3 b l0 =a 6 .b 14 . 
§. 13. Division. Der Verbindung mehrer Faktoren zu 
einem Produkte ist die Auflösung desselben, d. h. die Zerlegung einer 
Zahl in solche Faktoren entgegengesetzt. Soll sie in zwei Faetoren