340 2 Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 302. 
also, indem man (l) und (2) addirt: 
Fu—i ■+• tu—i ■—; Fu -f- tn — (e -k- 1), 
und indem man hievon (3) subtrahirt: 
ln—1 “4“ tu—i — K n —1 l 1 n ~t* En — Kn , 
wonach der Werth von F -t- E — K unverändert bleibt, wie viele 
einzelne Figuren man auch hinwegnehmen möge. Sind deren 
aber n — 1, so gelangt man zu einer einzigen ebenen Figur, wofür 
F — 1 und E — K — 0, also F E — K = 1 ist. Folglich 
hat man allgemein: Fn 4- E„ — K U = F + E — K==l. Um 
nun diese Vorstellung eines Figurennetzes auf ein Polyeder von 
F Seitenflächen, E Ecken und K Kanten anzuwenden, braucht 
man nur irgend eine seiner Flächen wegzulassen, womit Ecken 
und Kanten in gleicher Anzahl a ausfallen. Dadurch erhält 
man aber für das entstehende Figurennetz nach dem Vorigen die 
Gleichung 
(F — 1) + (E — a) — (K — a) = 1; also F + E = K + 2. 
§. 302. Reguläre Polyeder. 
1. Reguläre Polyeder können mir dreierlei Figuren, das gleich 
seitige Dreieck, das Quadrat oder das reguläre Fünfeck, zu 
Seitenflächen haben. 
Denn denkt man sich eine Ecke von regulären Sechsecken gebildet, 
deren wenigstens drei zusammenstoßen müssen, so erhält man als 
Summe der Kantenwinkel 3 . f R = 4R, welches gegen §. 293, 
L. 16. streitet. Noch viel weniger kann also ein reguläres Sie 
ben- oder Achteck u. s. w. die Seitenfläche eines regulären Polyeders 
abgeben. 
2. Es kann der regulären Polyeder nicht mehr als fünf geben. 
Denn denkt man sich als Figur der Seitenflächen 
(1) das gleichseitige Dreieck, so läßt sich daraus, weil 3 . |R, 
4.|R und 5. |R sämmtlich weniger, alö 4R betragen, eine 
drei-, vier- und fünfseitige Ecke bilden. Aber 6 . |R ist — 4R, 
also eine Ecke aus sechs gleichseitigen Dreiecken unmöglich; 
(2) das Quadrat, so kann man, weil 3.R<4R, davon drei 
zu einer Ecke zusammensetzen, jedoch nicht mehre; 
(3) das reguläre Pentagon, so geben ebenfalls nur drei eine 
Ecke, weit 3 . |R C 4R, hingegen 4 . |R schon > 4R. 
3. Reguläre Polyeder können nur von vier, sechs, acht, zwölf 
oder zwanzig Seitenflächen eingeschlossen werden. 
Der Beweis dieses Satzes ergiebt sich aus folgenden Construc- 
tionen: 
1. (Fig-. 106.) Ein reguläres Polyeder zu construiren, dessen 
Ecken von drei gleichseitigen Dreiecken gebildet werden. 
Man errichte auf dem Mittelpunkte P eines gleichseitigen Dreiecks 
ABC die Senkrechte PD, und trage von A eine Linie AD = AB