4. Capitel. Aebnlichkeit der Körper. 
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Demi denkt man sie concentrisch gelegt, und beliebige Linien ans 
der Mitte gezogen, so werden diese von den einzelnen Kugelflächen 
nach allen Richtungen in dem nämlichen Verhältniß geschnitten. 
2. (Fig. 122.) Zwei Cylinder sind ähnlich, wenn ihre Achsen- 
Durchschnitte cs sind. 
Denn denkt man beide concentrisch in einander liegend und eine 
Ebene durch die gemeinschaftliche Achse gelegt, so schneiden die 
Diagonalen der Durchschnitts-Rechtecke einander im Centrum 0, 
als Convergenzpunkt, und sind wegen der Aehnlichkeit beider 
Rechtecke verhältnißgleich. Da von allen Linien FG, fg das 
Nämliche gilt, so sind beide Körper ähnlich. 
3. (Fig. 122.) Zwei Kegel sind ähnlich, wenn ihre Achsen- 
Durchschnitte es sind. 
Denn mit dem gleichen Winkel an der Spitze 0 fallen beide Dr. 
ABO, abO zusammen, wonach jede beliebige Linie 06, aus der 
Spitze auf die Basis gezogen, verhältnißgleich getheilt wird, und 
da dieses nach allen Durchschnittsrichtungen geschieht, sind die 
Kegel einander ähnlich. 
§. 313. Lehrsätze über Linien in und an der Kugel. 
1. (Fig. 123.) Die Stücke zwei einander schneidender Kugel 
sehnen Aa, ßb sind verhältnißgleich; d. h. OA : OB = Ob : Oa. 
Zusatz. Wenn man durch einen Punkt 0 im Innern der Ku 
gel beliebige Sehnen Aa, Bb, Fe ... . zieht, so sind die Produkte 
ans ihren Abschnitten bei allen einander gleich. 
2. Die Abschnitte zwei, ans einem beliebigen Punkte P gezo 
gener, Kugelsecanten PD, PG sind verhältnißgleich, d. h. PO: PG 
— Pg : Pd. 
Zusatz. Wenn man von einem Punkte P außerhalb der Kugel 
Secanten PO, PG durch dieselbe zieht, so sind die Producte jeder 
einzelnen und ihres außen liegenden Abschnitts bei allen andern gleich. 
4. Wenn man durch den Berührungspunkt zweier Kugeln 
Secanten legt, so sind ihre Abschnitte in beiden Kugeln verhält 
nißgleich. 
Die Beweise dieser Sätze folgen, da zwei einander schneidende ge 
rade Linien die Lage einer Ebene bestimmen und die Kugel von 
solcher in einem Kreise geschnitten wird, unmittelbar aus §. 257. 
5. (Fig. 123.) Alle aus einem beliebigen Punkte gezogenen 
Kugeltangenten sind einander gleich. 
Denn es ist (nach L. 3.) PG* — PD . Pd und dieses Produkt 
(nach L. 2, Zus.) eine beständige Größe. 
6. Die gemeinschaftlichen Tangenten und die Achse zweier Ku 
geln sind Convergenteit. 
Denn denkt man sich durch die Achse zweier Kugeln Ebenen in 
beliebigen Richtungen gelegt, so erzeugt jeder Durchschnitt zwei 
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