§. 318. 5. Capitel. Körperräume. 359
len auszudrücken wäre, bleibt diese Proportion gültig. Denn an
genommen, es wäre
(1) AL : AG = AM : AE, und eö würde ein Punkt P zwi
schen K und M so gewählt, daß AP mit AE commensu-
rabel sei, so hätte man
(2) AO: AG = AP: AE, und ferner ans beiden
(3) AE : AO — AM : AP, welches unmöglich ist. Da aus
denselben Gründen nicht AL:AG = AN : AE sein kann,
so folgt ganz allgemein, daß AE : AG — AK : AE.
2. (Fig. 130.) Rechtwinklige Parallelepipeda DF, Dft der
selben Höhe verhalten sich, wie ihre Grundflächen.
Denn legt man beide Körper mit einer Kante Dü so an einander,
daß deren anliegende Seiten in dieselben Ebenen fallen, und er
weitert die übrigen Seiten, so bilden dieselben ein drittes Parp.
DE, und es ist (L. 1.)
(1) EG : ÜE — EH : HI; (2) HL : PM = HG : PH,
also EC : PM = EH . HG : HI . PH — EHGF : PHlft.
3. (Fig. 130.) Rechtwinklige Parallelepipeda RM, CE ver
halten sich überhaupt zu einander, wie die Produkte aus ihren
Grundflächen und Höhen.
Denn werden beide Körper wie vorhin an einander gelegt und die
Seiten zu dem Parp. HE erweitert, so hat man
(nach L. 1.) RM : PM = DS : DH,
(nach L. 2.) PM:EC= RSTU : EFGH,
also RM : EC — RSTü . DS : EFGH . DH.
Zusatz. Da die Grundflächen als Producte der Seiten (Länge
und Breite) angesehen werden können, so verhalten rechtwinklige
Parallelepipeda sich auch, wie die Producte ihrer drei Dimenstonen.
§. 318. Lehrsätze über die Bestimmung des Inhalts
und der Oberfläche ebenflächiger Körper.
1. (Fig. 125.) Den Inhalt eines Parallelepipedons P findet
man durch Mnltiplication seiner Grundfläche R mit der Höhe H.
Denn jedes beliebige Parp. P ist (nach §. 310, L. 3.) einem
rechtwinkligen von inhaltsgleicher Basis H und derselben Höhe H
gleich. Es verhält sich aber, wen» C den messenden CubuS be
zeichnet, besten Seite — q sei (nach §. 317, L. 3.) P: C
= B . H : q* . q, und wenn C als Körper-, so wie q als Linien-
Einheit angenommen wird, P = B . H.
2. (Fig. 125.) Die Oberfläche 0 eines rechtwinkligen Paral
lelepipedons ist der doppelten Summe der Producte aus je zwei
Kanten einer Ecke gleich.
Daß 0 = 2 (AB . BK H- BK . BF -+- BF . BA) ist, folgt au§
§. 264, L. 1.
