362 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 319.
§. 319. Lehrsätze über die Bestimmung des Inhalts
und der Oberfläche krummflächiger Körper.
1. Den Inhalt eines Cylinders C findet man durch Multi
plicatio» seiner Basis B mit seiner Höhe 8.
Sei C = x . 8, unter x die unbekannte Fläche verstanden, die
mit des Cylinders Höhe multiplieirt werden muß, um seinen In
halt zu geben, und denkt man sich in und um den Cylinder die
regulären Prismen P, p construirt, deren Grundflächen G, g um
und in den Basiskreis beschriebene Polygone sind, so ist 6 <; P
und p, d. i). x . 8 -< G . 8 und >- g . 8. Nun giebt eö aber
keine Fläche, welche unter allen beliebigen Annahmen für P und p
kleiner, als G und größer, als g wäre, als den Kreis B; folglich
istx — B und C = B . H.
Zusatz. Ist der Radius der Grundfläche — R, so ist C
= R 2 . TT . H.
2. Die krumme Oberfläche 0 eines Cylinders wird durch Mul
tiplication des Basisnmfanges U mit der Höhe 8 gefunden.
Sei 0 — x . 8 und denkt mau sich unter d, q die Oberflächen
regulärer, um und in den Cylinder beschriebener Prismen, deren
Perimeter — P, p, so ist 0 <; d und q, d. h. x . 8 < P . 8
und > p . 8. Nun ist aber nur der Kreiöumfang U unter allen
Umständen < P und ;> p, folglich U — x und 0 = U . 8.
Zusatz. Bezeichnet man den Radius der Grundfläche mit R,
so ist 0 = 2R . tv . 8.
3. Den Inhalt eines Kegels K findet man durch Multiplica
tion seiner Basis B mit dem dritten Theil der Höhe 8.
Denn sei K = x . 8, und vergleicht man den Kegel mit zwei
Pyramiden d, q, die gleiche Höhe 8, aber ein in oder um den
Basiskreis beschriebenes Polygon, G oder g, zur Grundfläche ha
ben, so ist K ■< d und >- q, d. h. x.B<|G.H und
* g . 8; also muß x = jB sein, weil allein B *< G ;> g ist.
Zusatz. Ist der Radius der Grundfläche — R, so ist K
= IR 2 . tv . 8.
4. Den Inhalt eines abgestumpften Kegels K findet man
durch Multiplication des dritten Theils der Höhe mit der Summe
der beiden Grlindflächeu G 2 , g 2 und der mittleren Proportionale
zwischen beiden.
Der Beweis ist ganz wie in §. 318, L. 8.
Zusatz. Bezeichnet man den Radius der Grundfläche durch
R, den der Gegensläche durch r, so ist K = ^8 (R 2 Rr r 2 ) n.
5. Die krumme Oberfläche 0 eines Kegels findet man durch
Multiplication seines Basisumfangs tf mit der Hälfte der Seiten
höhe 8.
Bezeichnen d, q die Oberflächen zweier regulärer Pyramiden, de-