5. Capitel. Körperräume.
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§. 319.
rcn Grundflächen mit den Perimetern P, p um und in den Ba
siskreis beschrieben worden, so ist 0<Q, und d. h. <^^P.M
ttttd ;>|p.,n, unter M, m die Seitenhöhe der Pyramiden-Dreiecke
verstanden. Nun ist aber unter allen Umständen U < P und
;> p, und zugleich S «< M und >> in, folglich 0 — zv. 8.
Zusatz. Ist der Radius der Grundfläche — R, so ist 0
= S . R . TT.
6. (Fig. 131.) Die krumme Oberfläche 0 eines abgestumpften
Kegels wird durch Multiplication des Umfangs (U + u) seiner bei
den Endflächen mit der halben Seitenhohe (8 — s) gefunden.
Denn cs ist (nach 5.) (l) 0 = | (ü. 8 — u. s), und da U:u = S:s,
also (2) 8—^-8 und (3) ^ _ s so hat man
P)0=i-.V (ü ’ “ u ’> = i (r=r{) (D*-u s ) = i (S-s)
(v H- u).
Zusatz I. Ist der Radius der Grundfläche 66 — R, derjenige
der Gegenfläche KM = r, so ist 0 = (S — s) (R -1- r) n.
Zusatz 11. Da der, aus dem Halbiruugspunkte P von MC
gezogene Radius PR = \ (GC KM) — ' (R + r) ist, so hat
man auch 0 — GK.2PR.tt.
Zusatz HI. Demnach ist die Oberfläche 0 (nach L. 1.) derjeni
gen eines Cylinders gleich, dessen Durchmesser — RQ, und dessen
Höhe GR ist.
7. (Fig. 132.) Die gekrümmte Oberfläche eines Körpers,
welcher durch Umdrehung eines regulären Polygons AR GGF um
seine Achse AF erzeugt wird, findet man durch Multiplication dieser
Achse mit dem Umfange des eingeschriebenen Kreises.
Denn zieht man aus dem Centrum auf die Mitte einer Seite
RG den Radius MN, und aus R, N, C die Senkrechten RL,
NP, CM, R0, so ist wegen Aehnlichkeit der Dreicke RC:RO
= MN : NP, also RC.NP = RO.MN und RC.2NP.tt
= R0.2MN.7t; d. h. man findet (nach L. 6, Zus. II.) die
Oberfläche des abgestumpften Kegels, welchen RCML beschreibt,
durch Multiplication seiner Höhe 110 mit dem Umfange des ein
geschriebenen Kreises; folglich die Oberfläche des ganzen, aus sol
chen Kegelstücken bestehenden, Körpers durch Multiplication der
Summe (AL + LM + MK + KF), d. i. seiner Achse mit
jenem Kreisuinfange.
Zusatz 1. Ist das Polygon von gerader Seitenzahl, und die
Verbindungslinie zweier Ecken, CE, zur Achse gewählt, so giebt das
Product GE . 2MN . n die ganze Oberfläche des Körpers.
Zusatz 11. Wählt man hingegen die Verbindungslinie zweier
Seiten AF, zur Achse, so giebt AF . 2MN . n nur den g ekrü mm-