364 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 319. 
ten Theil der Oberfläche, welcher für alle, um den nämbichen Kreis 
construirten Polygone, wie groß auch immer die Anzahl ihrer Seiten 
sein mag, gleich bleiben muß. Um die ganze Oberfläche zu erhalten. 
müßte man noch die beiden kreisförmigen Endflächen zu AF . 2MN.?r 
8. (Fig. 132.) Die Oberfläche der Kugel findet man durch 
Multiplication ihres Durchmessers mit dem Umfange eines größ 
ten Kreises. 
Denn denkt man sich um einen größten Kugelkreis ANF reguläre 
Polygone von gerader Seitenzahl beschrieben und um eine gemein 
schaftliche Achse AF gedreht, so entstehen gekrümmte Oberflächen, 
welche nach dem vorstehenden Zusatze um so weniger von einan 
der verschieden sein werden, je kleiner die Endflächen in A und F 
find. Die Gränze aller solchen Polygone ist aber der eingeschrie 
bene Kreis, und die von ihm erzeugte Kugelfläche, wofür die End 
flächen verschwinden, wird gleich jeder andern, von OBCGS be 
schriebenen, Oberfläche ausgedrückt durch AF . 2MN . n. 
Zusatz I. Die Oberfläche der Kugel ist das Vierfache ihres 
größten Kreises, weil AF . 2MN . n — 2AM . 2AM . tv = 4E* .n. 
Zusatz II. (Fig. 131.) Die Oberfläche der Kugel lst (L. 2.) 
der gekrümmten Oberfläche eines umschriebenen Cylinders gleich. 
Zusatz 111. Die Oberfläche eines sphärischen Dreiecks ist (nach 
9. (Fig. 133.) Die Oberfläche einer Kugelzone Z findet man 
durch Multiplication ihrer Höhe mit dem Umfange eines größten 
Kreises. 
Denn denkt man um den Bogen AL, durch dessen Drehung um 
CN die Kugelzone Z erzeugt werden mag, das Stück BOPRA 
irgend eines bcrührendeuden Polygons construirt, so erzeugt dasselbe 
(nach L. 7.) eine Oberfläche — FG.2CN7T, wie groß auch die 
Anzahl der Seiten sein mag. Da nun der Bogen AL die Gränze 
aller möglichen Polygonstücke BO.... A ist, so muß ebenfalls 
Z = FG. 2CN . 7t sein. 
Zusatz. Zonen von verschiedener Höhe auf derselben Kugel 
verhalten sich, wie die Höhen, zu einander. 
10. Den Inhalt einer Kugel K findet man durch Multiplica 
tion ihrer Oberfläche 0 mit dem dritten Theile des Radius A Al. 
Denn denkt man sich um die Kugel irgend ein berührendes Po 
lyeder construirt, dessen Oberfläche — O, so ist sein Inhalt (nach 
§. 318, L. 10, Zus.) =40,. AM, wie groß immerhin die An 
zahl der einschließenden Seiten angeuommeu werde. Da nun die 
Kugeloberfläche 0 die Gränze aller möglichen berührenden Po-