372 2. Abth. Geometrie. Geometrie des Raumes. §. 324. 
CI auf die gegenüberliegende Seite c, so ist (nach §. 323, L. I) 
sin CI — sin b sin « = sin a sin ß, oder: 
(1) sin b : sin a = sin ß : sin «. 
A nmerkung. Der Beweis bleibt -er nämliche, wenn das Dr. ABC 
in B stumpfwinklig ist, also der senkrechte Vogen CI auf die Ver 
längerung von AB fallen sollte. 
2. (Fig. 136.) Der Cosinus einer beliebigen Seite ist dem 
Producte der Cosinus der beiden andern nebst demjenigen der Si 
nus dieser Seiten in den Cosinus des gegenüberliegenden Winkels 
gleich. 
Denn verlängert man die Kanten MB, MC der Ecke MABC und 
zieht die Tangenten AF, AG nebst der Verbindungslinie FG, so 
entstehen die geradlinigen Dreiecke AFG, MFG, worin in Be 
ziehung auf AM als Einheit: 
AF — tg c, AG — tg b, MF — sec c, MG — sec b. 
Folglich FG 2 — sec b 2 -I- sec c 2 — 2 sec b . sec c . cos a. 
und auch FG 2 = tg b 2 -f- tg c 2 — 2 tg b . tg c . cos «. 
und hieraus, indem man sec 2 — tg 2 = 1 seyen darf: 
1 + tg b . tg c . cos « — sec b . sec c . cos a, 
v v . sin x I 
oder da tg x = und sec x — ist: 
° cos x cos x 1 
(2) cos a — cos b . cos c -+- sin b . sin c . cos «. 
AnMerkung. Zur Verallgemeinerung des vorstehenden Beweises 
nehme man an: 
I. daß im Dreieck BBC (Fix. im) zugleich KC oder b' >■ 90° 
und KB oder c' > 90° sei; dann ist im sphärischen Dreieck 
ABC sowohl AB, als AC < 90°, also BC = a = a', W. « 
— a, UNd 
cos a — cos (180° — b') . cos (ISO“ — c') 
-+- sin (180° — b') . sin (180" — c') . cos er, 
d. i. cos a' == cos b' . cos c' sin b' . sin c' . cos 
II. Daß im Dreieck AB» (Fix. H4) AB oder c' < 90°, aber AH 
oder b' > 90", und W. BAH — «' sei, so ist im Dr. ABC so 
wohl AB, als AC < 90°, also; 
cos (180° — a') — cos (180° — b') . cos c' 
-j- sin (180° — b') . sin c'. cos (180°—«'), 
d. i. cos a' = cos b' . cos c' -f- sin b' . sin c' . cos 
3. (Fig. 136.) Das Product der Cotangente einer beliebigen 
Seite in den Sinus einer zweiten ist gleich dem Producte aus deren 
Cosinus in den Cosinus des, vou beiden eingeschlossenen, Winkels 
nebst demjenigen aus dem Sinus dieses Winkels in die Cotangente 
dessen, welcher der ersten Seite gegenüber liegt.