H 325. 
6. Capitel. Sphärische Trigonometrie. 
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, luid nach (2) co8 
b = cos a . cos c + sin a . sin c . cos ß. 
Wenn man diese beiden Werthe in die Gleichung (2) im L. 2 
substituirt, so wird sie cos a — cos a . cos c a H- sin a . sin . c . 
sin a . sin ß 
d. i. zusammengezogen: 
cos a (1 — cos c s ) — sin a . sin c (cos c . cos ß + sin ß. cot a), 
oder (3) cot a . sin c = cos c . cos ß + sin ß . cot «. 
4. Der Cosinus eines beliebigen Winkels ist gleich dem Pro 
dukte aus den Sinus der beiden andern Winkel in den Cosinus der 
gegenüberliegenden Seite weniger dem Produkte der Cosinus jener 
jener beiden Winkel. 
Denkt man sich zu dem gegebenen spärischen Dreiecke ABC (nach 
§. 306. L. 10 und 11) das Polardreieck PQ.R (Fig. 115) ron- 
struirt, so ist RQ, — 180° - «, FR — 180° — /5, PQ, = 180° 
— y, SB. P = HB -+- BG = 90° -f- (90° — a) = 180° — a; 
also nach L. 2; cos Rft = PR. cos PQ, -f- sin PR . sin PQ,, 
cos P, d. i. nach Substitution vorstehender Werthe: 
(4) cos « — sin ß . sin y . cos a — cos ß . cos y. 
§. 325. Umformung der sphärischen trigonometrischen 
Grundformeln. Von den vorstehenden vier Grundformeln der sphä 
rischen Trigonometrie ist für die iogarithniische Berechnung (sofern man 
nicht etwa die Gaußischen Logarithmen für Summen und Diffe 
renzen nach §.132 anwenden will) nur die erste unmittelbarzu gebrauchen. 
Die drei anderen müssen zu diesem Zwecke erst dergestalt umgeformt 
werden, daß ihre Zweitheiligkeit verschwinde, urid nur Faktoren 
oder Divisoren in ihnen vorkommen. Je nachdem nun die eine 
oder andere Größe durch die übrigen bestimmt werden soll, muß 
dieselbe Formel auf verschiedene Art umgestaltet werden. Man 
wendet dazu entweder einige bekannte goniometrische Formeln 
oder einen sogenannten Hülfswinkel an, wie aus Folgendem 
hervorgeht. 
1) Bestimmung eines Winkels durch die drei Seiten. 
Wenn man zu beiden Seiten der Gleichung (2) unter der Form 
cos a — cos b . cos c 
cos « — 
sin b . sin c 
die Einheit addirt, und die Formel cos (b -4- c) = cos b . cos c 
— sin b . siu c anwendet, so findet man: 
1 -1- cos « — 
cos a — cos (b H- c) 
sin b . sin c