§. 340. 
2. 
Capitel. Krumme Linien. 
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chungen das bequemste Mittel dar, die Curven in Ordnungen ein 
zutheilen, deren Grad mit dem der Gleichungen, also auch mit der 
Anzahl der höchstens möglichen Intersectionen der Curve und 
einer Geraden (die nicht eben die angenommene Abscissenlinie zu sein 
braucht) genau übereinstimmt. 
Die einfache Beziehung zwischen algebraischen Gleichungen hö 
herer Grade und ihrer Construction durch Abscissen und Ordinären 
gewährt ein sehr taugliches Mittel, die Gränzen der Wurzeln (§. 
193.) dadurch zu bestimmen, daß mau die gegebene Gleichung 
t (x) — 0 als k (x) — X betrachtet, für x die Reihe der natürlichen 
Zahlen v, 1, 2, 3 ... . positiv und negativ genommen (nöthigen- 
falls auch gebrochene Zahlen) substituirt, und die daraus entspringen 
den Werthe X,, X 2 , X 3 . . . . als Ordinate» auf einer eingetheil 
ten Abscissenlinie in paralleler Lage und der gehörigen Richtung ab 
trägt, um die Endpunkte derselben durch einen continuirlichen Zug 
zu verbinden. Denn da, wo zwei successive Ordinate», QN und RL 
(Fig. 142.) nach verschiedenen Richtungen abgetragen sind, weil die 
Substitution benachbarter Zahlen verschieden bezeichnete Werthe für 
y gab, ist offenbar der eine Werth von x zu hoch, der andere zu 
niedrig angenommen, und derjenige, welcher y annulliren würde, 
(eine reelle Wurzel) zwischen beiden enthalten. Cs können sogar 
mehre Wurzeln zwischen zwei solchen Gränzen, z. B. den zu QN 
und 1H gehörigen Abscissen, liegen, aber jedenfalls nur in ungera 
der Anzahl. Denn ein, zwischen den Endpunkten X und H zwei 
entgegengesetzter Ordinate« mehrfach gebogener Zug kann im Allge- 
meineu eine gerade XX nur in 1, 3, 5, 7 ... . Punkte», nicht 
aber in 2, 4, 6 ... . durchschneiden. Sollte eine Biegung die 
Gerade, wie in 8, nur berühren, so stellt die Absciffe AS zwei 
gl eiche Wurzeln der Gleichung dar; und bleibt gar ein Abstand 
zwischen beiden, wie FM, so ist das ein Merkmal von der Anwe 
senheit imaginärer Wurzeln. Wo dergleichen vorhanden sind, kann 
sogar binnen gewissen Gränzwerthen von x die Curve gänzlich auf 
hören und in getrennten Zügen zum Vorschein kommen. 
Sollte eine algebraische Gleichung F (x, y) — 0 durch Multi 
plication anderer f (x, y) = 0, gp (x, y) = 0 . . . . entstanden oder 
in dieselben zerlegbar sein, so stellt sie keine zusammenhängende Curve, 
sondern vielmehr getrennte Linien dar, wovon jede einzelne einer 
der erzeugenden Gleichungen angehört. 
§. 340. A»wendnngen. 1. Sei, um die vorstehende allge 
meine Betrachtung durch Beispiele zu erläutern, zunächst zur Con 
struction einer Curve der zweiten Ordnung die Gleichung 
(y — 3) 2 + (x — 2) 2 = 16, oder y = 3 ± 1/16—(x-2) 2 gege 
ben, so hat man bei verschiedenen Substitutionen für x folgende 
correspondirende Werthe: