416 2. Abth. Geometrie. Anfangsgr. d. h. Geom. §. 361.
und wenn die Coordinate» auf den Mittelpunkt 6 bezogen werden,
(nach §. 350) w 1 2 = (a 2 — x 2 ), also:
b 2
(2) z 2 4- y 2 = ^7 (a 2 — x 2 ) oder a 2 z 2 4- a 2 y 2 4- b 2 x 2
—. a 2 b 2 .
VI. (Fig. IGO.) Denkt man durch Rotation einer Hyperbel
GAK um ihre Achse die Oberfläche eines Hyperboloids erzeugt,
so ist in Beziehung auf den Scheitelpunkt A (nach §. 252) w 2 =»
b 2
¿7 (2ax 4- x 2 ), also:
b 2
(1) z 2 4- y 2 — ~7 (2ax 4- x 2 ) oder a 2 z 2 4- a 2 y 2 — b 2 x 2
— 2ab 2 x;
und wenn die Hyperbel auf ihren Mittelpunkt bezogen wird, w 2 —
^7 (x 2 — a 2 ), also:
^ b 2
(2) z 2 4- y 3 = ^7 (x 2 — a 2 ) oder a 2 z 2 4- a 2 y 2 — b 2 x 2
— — a 2 b 2 .
§. 361. Aufgaben über Linien im Raume, und die In-
tersection und Berührung der Flächen.
1. Die Projections-Gleichungen einer geraden Linie zu finden,
wenn M', M" derselben gegeben sind.
Werden die gegebenen Coordinate» dieser Punkte durch x', y',
z'; x", y", z" bezeichnet, und die gesuchten Gleichungen der Pro-
jectioncn in den Ebenen AXY und AZX dargestellt durch y = ax
4- b und z = «x 4- ß, so ist
y' — ax' 4- b und z — ax 4- ß\
y’’= ax'' 4~ b z" = ax' 1 4- /?;
also y' — y" — a(x' — x") und z' — z" = a(x — x"), wodurch
a und « bestimmt sind, mithin auch b und ß.
2. Die Gleichung einer Ebene zu finden, wenn drei Punkte
Al', M", M'" derselben gegeben sind.
Sind x', y', z'; x", y", z"; x'", y", z'" die Coordinate» der ge
gebenen Punkte, so werden die Coefficiente» der Gleichung Ax 4-
By 4- Cz 4- D = 0 dadurch bestimmt, daß man die vorstehenden
speciellen Werthe an die Stelle von x, y, z setzt und dann die un
bekannten Werthe A', B, C sucht, nachdem D durch Division ent
fernt ist.
3. Die Projections-Gleichung des Durchschnitts einer Ebene
und einer Kegelfläche zu finden.