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3. Capitel. Gegensatz der Zahlen. 
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Drittes Capitel. 
Gegensatz der Zahlen. 
§. 31. Gegensatz der Grundoperationen. Es ist von 
besonderer Wichtigkeit, bei Betrachtung der Grnndoperationen in gan 
zen Zahlen die gegenseitige Beziehung derselben aufzufassen, wo 
nach Addition und Subtraktion, so wie Multiplication und Division 
ihre Wirkung auf eine gegebene Zahl entweder ganz oder doch we 
nigstens theilweise aufheben, wenn eine dieser Operationen unmit 
telbar nach der andern vorgenommen wird. Man erkennt diesen 
doppelten Gegensatz in den Beispielen: 
I. 
(12-1-5) — 5=12; 
(12 — 7)4-7=12; 
11. 
(12-1-5) —3 = 14; 
(12-3)4-7 = 16; 
111. 
(12X6):6—12; 
(12:4)X4 = 12; 
IV. 
(12x6): 3=24; 
(12:4)X5 = 15; 
wo in 1 und 
11 die beiden ersten, 
in III und IV die beiden letzten 
Grnndoperationen einander aufhebend gegenüberstehen. Aber 
nicht allein der Begriff entgegenstehender Operationen, sondern auch 
der einer gleichartigen Zahlenverbindung, sei es Addition oder 
Multiplication, führt unter bestimmten Voraussetzungen zu der Vor 
stellung entgegengesetzter Zahlen, d. h. solcher, die auf die näm 
liche Weise mit einer dritten Zahl verbunden, einander gegenseitig 
(ganz oder theilweise) vernichten oder aufheben. 
§. 32. Entgegengesetzte Zahlengiieder. Eine Zahl a, 
welche in Beziehung auf irgend eine, ursprünglich vorgestellte k als 
Vermehr»ng derselben gedacht und demgemäß durch —u angedeu 
tet wird, heißt additiv oder positiv; eine Zahl b, in Beziehung 
auf k als Vermindern ng gedacht und deshalb durch — b ausge 
drückt, hingegen eine subtractive oder auch negative Zahl. ES 
ist leicht wahrzunehmen, wie in diesem Sinne der linbegränzten Reihe 
positiver Zahlen eine eben so unbegränzte Reihe negativer Zah 
len gegenüberstehen muß; denn wie durch wiederholtes Addiren, so 
läßt sich nicht minder durch wiederholtes Subtrahiren der Einheit 
eine in's Unendliche fortlaufende Zahlenreihe bilden, deren Glieder 
sich von den Gliedern jener Reihe keineswegs durch ihren Inhalt, 
sondern vielmehr durch die Beziehung des Gegensatzes, worin 
sie zu einander stehen, wesentlich unterscheiden. Auf diese Weise er 
hält man als vollständigere Andeutung der Reihe ganzer Zahlen: 
• • • 4, 3, 2, 1, 0, -Hl, +2, 4-3, -f-4, +5, . . 
worin auf der einen Seite die Reihe aller positiven Zahlen durch 
wiederholtes Setzen der additiven Einheit, auf der andern aber 
die Reihe der negativen Zahlen durch Wiederholung der snbtrac- 
tiven Einheit sich erzeugt.