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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 84.
heitszeichen zu erkennen. So wird z. B. der Inhalt von 12 Ein
heiten eben sowohl ausgedrückt, indem von 4 Einheiten 3mal, als
wenn man 5 und 7 Einheiten setzt: oder auch, indem man 20 und
8 Einheiten vermindert oder 24 Einheiten zur Hälfte setzt. Man
darf demnach von den verschiedenen Zahlformen 4.3, 5-1-7, 20 — 8,
24
y, irgend zwei als inhaltsgleich zusammenstellen und dadurch eine
Gleichung zu bilden; z. B.
4.3—5+7; 5+7=20—8; 20-8= 4.3=^.
Als doppelter Ausdruck wirklicher Großes (z. B. von Geldsummen,
Gewichten, Flächenräumen) enthält eine Gleichung nothwendig be
nannte Zahlen. Es leuchtet aber ein, daß beide Ausdrücke dersel
ben auf die nämliche Einheit bezogen, also die in ihnen enthaltenen
benannten Zahlen gleichnamig sein müssen, da man sonst unver
meidlich auf Widersprüche gerathen würde, wie wenn z. B. der Um
stand, daß 3 Pfund tm£ 96 Loth gleichbedeutend sind, durch die
Gleichung 3=96 ausgedrückt werden sollte.
§. 54. Form der Gleich»ngen. Der Ausdruck eines Gr'ö-
ßeninhalts an Einheiten und Einheitstheileu kann entweder durch eine
geschlossene Zahl oder durch die Art, wie mehre Zahlen mit ein
ander verbunden werden sollen, angedeutet werden. Im letzten Falle
ist jener Ausdruck nothwendig eine bestimmte Zahlform, und wenn
die vorgeschriebene Verbindung nicht über die vier Grundoperationen
hinausgeht, entweder die reine Form von Summe, Differenz, Pro
duct oder Quotient:
(1) A+B + C (2) A-B (3) P.ft.R (4)
oder aus solchen einfachen Formen durch Vermischung von Addition,
Subtraction, Multiplication und Division zusammengesetzt, wie z. B.
(5)
(A + B) P ^ (A-B) P P.ft.R
ft '(0) u A+B ^ (A-B) ft '
Gleichungen, welche auf beiden Seiten die nämliche Form enthal
ten, unterscheiden stch demgemäß als
I. Summengleichungen von der Form A+B=C+D;
II. Difserenzgleichungen A—D=C —B;^
III. Productengleichungen. ....... P . ft=R . R;t^
IV. Quotienten gleich» ngen P : S = R : ft;
und diese Benennungen bleiben auch dann gültig, wenn die einzel
nen Glieder nicht geschloffene Zahlen, sondern Polynome andeuten.
§. 55. Umformung der Gleichungen. Da zwei Zahl
formen gleichen Inhalts, um Gleiches vermehrt oder vermindert und
(in Folge dessen auch) durch die nämliche Zahl vervielfacht oder ge
theilt, einander gleich bleiben müssen, so läßt sich jede gegebene Glei-
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-(8>
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