men. §. 54. 
§. 55. 5. Capitel. Einfache Gleichungen. 49 
>halt von 12 Ein- 
rheiten 3mal, als 
dem man 2V und 
älfte setzt. Man 
3, 5-1-7, 20-8. 
und dadurch eine 
von Geldsummen, 
; nothwendig be- 
Ansdrücke dersel- 
ihnen enthaltenen 
man sonst unver- 
m z. B. der Um» 
> sind, durch die 
sdrnck eines Grö- 
»tweder durch eine 
i Zahlen mit ein- 
Jm letzten Falle 
form, und wenn 
Grnndoperationen 
, Differenz, Pro- 
ng von Addition, 
igesetzt, wie z. B. 
R 
;a—B) ft' 
he Form enthal- 
15 = C -HI); 
D = C — B; 
ft = R . R;^ 
8 —R : ft; 
wenn die einzel- 
nome andeuten. 
Da zwei Zahl- 
r vermindert und 
cvielfacht oder ge 
be gegebene Glei- 
chung durch Addition, Subtraction, Multiplication oder Division mit 
irgend einer beliebigen Zahl oder Zahlform auf die mannigfaltigste 
Weise zu neuen Gleichungen umformen. Wählt man z. B. die 
Gleichung A-f-B — C=P.ft, so verwandelt sich dieselbe durch Ad 
dition oder Subtraction eines Gliedes v in 
(1) A-hB-C-*-D=P.ft+D 11. (2) A+B—C—D = P.ft_D 
durch Multiplication oder Division mit der^Summenform R-f-8 
aber in 
(3) (A + B-C) (R+S) = P.ft (R + S) und 
A+ B- C 
KJ R + S — R-t-S. 
Offenbar kaun man von jeder dieser vier Gleichungen zur ursprüng 
lichen zurückkehren, indem man v von (1) auf beiden Seiten subtrahirt, 
zu (2) aber addirt; oder indem man durch (R + S) die Gleichung 
(3) dividirt, (4) hingegen multiplicirt, woraus hervorgeht, daß Glei 
chungen von ganz verschiedenen Formen die nämlichen Bezie 
hungen zwischen den in ihnen enthaltenen Zahlen ausdrücken können. 
Es ergeben sich aus diesem Allen folgende Sätze über Gleichungen: 
1. Der bestimmte Zusammenhang, in welchem mehre Zahlen 
A, B, € ... P, ft zu einander stehen, kann durch eine unbegränzte 
Menge verschieden geformter Gleichungen dargestellt werden. 
2. Um eine gegebene Gleichung umzuformen, darf man nur 
auf beiden Seiten derselben die nämliche Veränderung vornehmen. 
3. Kommt auf beiden Seiten einer Gleichung irgend eine Zahl 
in der nämlichen Bedeutung (d. h. als Summand, Subtrahend, Fac 
tor oder Divisor) vor, so kann man dieselbe weglassen, ohne dadurch 
die Gleichung im Wesentlichen zu ändern. 
4. Jede von den Zahlen, welche die eine Seite einer gegebenen 
Gleichung bilden, wird dadurch aus derselben weggeschafft, daß 
man auf beiden Seiten das Entgegengesetzte der Andeu 
tung vornimmt. Demnach ist ein Summand durch Subtraction, 
ein Subtrahend durch Addition, ein Factor durch Division, ein Di 
visor durch Multiplication wegzuschaffen. 
5. Durch allmähliges Wegschaffen der einzelnen Zahlen von 
der einen Seite werden dieselben in entgegengesetzter Weise auf die 
andere hinübergetragen (transponirt). Durch solche Trans 
position wird mithin der Summand zum Subtrahend, der Factor 
zum Divisor und umgekehrt. 
6. Enthält eine Gleichung zwei- oder mehrgliedrige Zahlformen 
(Polynome), so sind dieselben in Klammern einzuschließen und so 
lange als einfache Glieder zu behandeln, bis die Entwickelungen 
beiden Seiten vorgenommen werden soll. 
§. 50. Identische Gleich»ngen. Gleichungen, in denen 
eine Seite nur eine Umformung oder Entwickelung der ander»! ist, 
Tellkqmpf's Mathematik 4. Aufl. 4