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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 57.
werden identische (auch analytische) genannt. Sie müssen dem
nach richtig sein, was auch immer die einzelnen Zahlen, welche die
beiden Seiten bilden, bedeuten mögen. Gleichungen solcher Art
ssnd z. B
(!) a-t-b — c+d— eH-f=(a-f-b + d+f) — (c-f-c).
(2) (a-j-b) (c-f-d) = ac-i-adH-bc-t-bd.
(3) a 3 -4-3.i s b-+-3ab*H-b 3 = a 2 Hh-2ab-4-b 2 .
a—|— b
Da jede Gleichung nur dadurch umgeformt werden kann, daß
man auf beiten Seiten derselben die nämliche Veränderung vor
nimmt, so folgt, daß durch alle möglichen Umgestaltungen einer
identischen Gleichung stets neue derselben Art hervorgehen müssen.
Auch ist eine Gleichung, von weicher man durch beliebige Umfor
mungen endlich zu einer augenscheinlich identischen gelangt, nothwen
dig selbst identisch, weil man, von dieser ausgehend, zu der gege
benen Gleichung zurückgelangen kann. So ist z. B-
(a — b) 3 a 2 —2ab-f-b 2 /a — b\ 2 a 2 —2ab-f-b 2
ka—kb a* -+-2ab + b 2 \a-4-b/ k
eine identische Gleichung, weil man durch die Entwickelung der in
ihr enthaltenen O-uotienteuformeu eine solche erhält.
§. 57. Bedingungsgleichungen. Gleichungen, in denen
die eine Seite nicht durch Umformung oder Entwickelung der an
dern gebildet werden kann, in welchen also beide Seiten wesentlich
verschiedene Ausdrücke enthalten, werden B e d i n g u n g s g l e i ch u n g e n
genannt. Dadurch nämlich, daß ein Zahlenausdruck einem andern,
der Andeutung nach von ihm abweichenden, an Inhalt gleich sein
soll, wird eine Bestimmung über die einzelnen Zahlen getroffen oder
eine Bedingung festgestellt, welcher sie genügen müssen, sofern die
Gleichung richtig sein soll. Sei z. B.
(1) a-3 = 7-b; (2) 4p=^;
so müssen (1) die Zahlen a und b, zu einander addirt, die Summe
12, und (2) die Zahlen p und q, mit einander multiplicirt, das Pro
duct 3 geben. Würden anderweitig für die nämlichen Zahlen die
beiden Gleichungen
c») a —7=0—b; (4) 5p=ip
aufgestellt, wonach a+b=16 und p.q=4 sein würde, so fände
zwischen (I)und (3), so wie zwischen (2) und (4) ein Widerspruch
statt, in Folge dessen diese Gleichungen nicht zugleich richtig sein
können. Eine gegebene Bcdingungsgleichung ist demnach unrichtig,
wenn sie einer anderweitigen Voraussetzung über die in ihr enthalte
nen Zahlen widerspricht, welches bei identischen Gleichungen nie
der Fall sein kann.