§. 59. 
5. Capitel. Einfache Gleichungen. 
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Bei allen Umgestaltungen, welche eine Bedingungsgleichung 
erleiden mag, bleibt sie immer eine solche und der Unterschied in ih 
ren verschiedenen Darstellungen besieht nur darin, daß die nämliche 
Bedingung in der einen einfacher, in der andern verwickelter ausge 
drückt wird. Von solcher Art sind z. B. die Gleichungen: 
(1) 4a+m=3u—p, 
§.58. Unbekannte Zahlen. Eine Zahl, welche in einer 
Gleichung, da ihr Inhalt unbekannt ist, durch einen Buchstaben nur 
angedeutet, aber auf bestimmt angegebene Weise mit andern bekann 
ten Zahlen verbunden erscheint, wird im Gegensatz gegen diese eine 
unbekannte Zahl oder kürzer eine Unbekannte genannt. Man 
pflegt derartige Zahlen allgemein durch die letzten Buchstaben des 
Alphabets (j. B. u, v, w, x, y, z) anzudeuten, während man die 
früheren (a, b, c u. s. f.) vorzugsweise gebraucht, um gegebene oder 
bekannte Zahlen zu bezeichnen. Nach der Anzahl der in ihnen ent 
haltenen Unbekannten unterscheidet man Gleichungen mit einer, 
zwei, drei oder mehren solchen Zahlen. Dergleichen sind z. B. 
(1) axH-b=4c. (2) ax-f-by==k. 
(3) mx+py=qz-f-r. (4) 3x-f-7y=z-j-5w. 
Je nachdem eine Unbekannte nur als einfacher, oder aber als zwei 
facher, dreifacher, überhaupt vielfacher Factor in einer Gleichung vor 
kommt, nennt man dieselbe eine Gleichung vom ersten, zweiten, 
dritten, allgemein von höherem Grade. Beispiele sind: 
(1) 94x—23 — 117. (2) ax* + mx=p. 
(3) nx 3 —x=px 3 + r. (4) 10z 7 —z = 1334. 
Gleichungen des ersten Grades werden auch einfache genannt. 
§. 59. Auflösung der Gleichungen. Unter der Auflösung 
einer Gleichung versteht man die Bestimmung der Unbekannten aus 
den gegebenen (bekannten) Zahlen gemäß der Bedingung, welche die 
Gleichung ausdrückt. Es kann daher nur eine Bedingungsglei- 
chung aufgelöst werden, während den Zahlenandeutungeu in einer 
identischen Gleichung, da für sie durchaus keine Bedingung aus 
gesprochen ist, alle beliebigen Werthe genügen würden. So ist 
in den Gleichungen: 
(1) 4x—36; 
(2) 4(2z-3)—8z—12; 
x der Bedingung unterworfen, daß sein 4 maliges die Zahl 36 her 
vorbringen soll, also =9, während für z jeder beliebige Zahlenwerth 
angenommen werden darf. Um nun aber eine Gleichung der ersten 
Art aufzulösen, d. h. eine in ihr enthaltene Unbekannte der gegebe 
nen Bestimmung gemäß zu bestimmen, oder mit andern Worten: 
einen Ausdruck zu erhalten, der — an die Stelle der Unbekannten 
gesetzt — die Gleichung in eine identische verwandelt, muß man diese