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?n. §. 60.
§. 61. 5. Capitel. Einfache Gleichungen.
freien, so daß
n stehe. Ein
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>, indem man
der Andeutung
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lltiplication
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i vorzunehmen,
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— 35ab = (100a s c — 12b c—20ac*—5a a )x
, y ... —35ab
toigusl) x — (lOOa 2 c—12bc—20ac a —5a a )
So wie im vorstehenden Beispiele läßt eine jede Gleichung des
ersten Grades mit einer Unbekannten sich durch die (im §. 55.)
angegebenen Umformungen schließlich auf die allgemeine Form
\
x= -g- bringen, wo unter A und B Zahlformen aus bekannten
oder bestimmenden Zahlen zu verstehen sind. Ob aber eine Glei
chung vom ersten Grade sei, geht erst deutlich hervor, nachdem man
die Divisoren derselben weggeschafft hat, da durch Multiplication mit
solchen, welche die unbekannte Zahl enthalten, leicht Glieder entstehen
können, welche diesen als mehrfachen Factor enthalten, wie dies
z. B. mit der Gleichung a * ^ =mx+a der Fall sein würde,
die sich in ax-b=crax 2 +cnx verwandelt, also vom zweiten
Grade ist.
§. 61. Auflösungen und Gleich»ngen mit zwei Unbe
kannten. Eine Gleichung, welche zwei Unbekannte enthält, wird
sich allerdings in Beziehung auf jede von beiden nach den vorher
gehenden Vorschriften auflösen lassen. So erhält man z. B. aus
der Gleichung I. 4x—5y=9 die beiden Werthe:
0) x= ±^L unH 2 )y =-*5=i,
Da hier aber in dem Ausdruck jeder Unbekannten die andere Unbe
kannte vorkommt, also keine von beiden wirklich bestimmt wird, so ist
eine eigentliche Auflösung (nach §. 59.) für eine Gleichung mit
zwei Unbekannten gar nicht möglich. Anders verhält es sich, wenn
eine zweite Gleichung mit den nämlichen Unbekannten gegeben ist;
z. B. II. 3x-i-2y =20, woraus sich wiederum zwei Werthe ergeben:
20—2y . _ 20—3x
3
(3) x=
und (4)y—-
Denn da nunmehr jede der Unbekannten auf zweifache Art aus
gedrückt ist, so erhält man durch Gleichsetzung von (1) und (3) oder
auch von (2) und (4) eine Gleichung, worin nur eine Unbekannte
vorkommt und die daher (nach §. 60.) aufzulösen ist.
Aus (1) und (3) folgt
9 + 5y
4
20—2y „ 7
— 3 , also y— 2 23.
4 x — 9
20 — 3x .. „ 3
Aus (2) und (4) folgt
5
— 2 ' x — ^23*
Außer dem, im Vorstehenden bezeichneten Verfahren der Auflösung,
welches man die CombinationSmethode zu nennen pflegt, giebt eS
noch zwei andere Methoden, einfache Gleichungen mit zwei Unbe
kannten aufzulösen. Man kann nämlich entweder den aus der Glei
chung I. erhaltenen Werth von x oder y in II. substituiren; oder