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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §, 62.
man sucht die Gleichungen durch Multiplication mit einem ent
sprechenden Factor so einzurichten, daß bei ihrer Addition und
Subtraktion die Glieder mit einer der beiden Unbekannten einander
aufheben.
Sei z. B. I. 3x —4y und II. x+2y = 12,
so ist x=;-fy und demnach durch Substitution in II.:
4y-b-2y---I2, also y=f
Sei ferner I. 5x-i-2y=30 und II. 8x—y—7,
so ist, indem mau I. mit 8, dagegen II. mit 5 multiplicirt oder auch
II. allein verdoppelt:
40x-I-I6y—240 oder 16x—2y=14
40 x— 5y= 35 5 x -4-2 y —30
folglich die Di ff. 21 y—205;od.d.Summe21x —44.
Nach allen drei Verfahrungsarten wird zlinächst eine der Unbe
kannten entfernt (elimin irt) und dadurch eine einzige Gleichung
gewonnen, worin nur die andere vorkommt. Ist aber deren Werth
bestimmt, so findet sich ebenfalls leicht der Werth der ersten durch
Substitution jenes Werthes in die gegebene Gleichung.
Aus dem Vorhergehenden (vergl. mit H. 57.) ergeben sich fol
gende Bedingungen für die Auflösbarkeit einfacher Gleichungen mit
zwei Unbekannten:
1. Es müssen der Gleichungen wenigstens zwei gegeben sein.
2. Beide Gleichungen müssen wesentlich verschiedene Bedingun
gen ausdrücken, weil sonst die eine nur eine Wiederholung der andern
sein würde.
3. Es darf zwischen den Bedingungen beider Gleichungen kein
Widerspruch stattfinden.
4. Sind mehr als zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
gegeben, so sind diese nur dann ans ihnen bestimmbar, wenn die Glei
chungen durch Umformung auf zwei wesentlich verschiedene zurückge
führt werden können. — Denn angenommen, drei Gleichungen I., II.
und III., wären von einander unabhängig, so erhielte man durch Ver
bindung von I. und II., I. und III., oder endlich von II. und III., drei ver
schied e n e Auflösungen für die nämlichen Zahlenandeutungen x, y, wi
der die Voraussetzung, daß jede derselben nur einen Werth haben könne.
§. 62. Auflösung von Gleichungen mit mehren Unbe
kannten. Sind Gleichungen zur Auslösung gegeben, worin drei oder
mehr Unbekannte (x, y, z . . .) vorkommen, so lassen die vorherge
henden Betrachtungen und Regeln sich leicht auf sie ausdehnen und
bedürfen nur einiger Erweiterung. Zunächst wird sich nämlich x
eliminiren lassen, indem man (nach §. 61 ; ) die erste Gleichung mit
allen übrigen der Reihe nach combinikt, wodurch man eine Glei
chung weniger erhält, als ihrer gegeben waren. Aus diesen neuen
Gleichungen läßt sich dann auf gleiche Weise y eliminiren, wodurch
die Atizahl derselben wieder um eine vermindert wird. Indem man