6. Capitel. Proportionen. 
ionen. §. 65. 
§. 67. 
65 
sind 3240 Pfund 
egen 2760 Pfund 
halten. Wie viel 
orte mit einer 3| 
aunsiein, Schwe- 
i dieser Substan- 
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- oder Q-uotien 
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e (a und d) und 
md c) und näch 
ze nach als erstes, 
zweites, drittes und viertes Glied in den, aus ihrer Betrachtung sich 
ergebenden, Lehrsätzen unterschieden werden. 
§. 66. Differenzgleichungen. Die allgemeine Form der 
Differenzgleichungen (arithmetischen Proportionen) d. i. 
I. a — b = c — d, 
erlaubt einige Umgestaltungen, die als Lehrsätze ausgesprochen werden 
können; nämlich 
(1) a ~t- d = b H- c, d. h. 
1. die Summe der äußern ist der Summe der innern 
Glieder gleich. 
(2) a — c = b — d; d. h. 
2. die Differenz der vorangehenden ist der Differenz 
der nachfolgenden Glieder gleich. 
In dem besondern Falle, daß in den mittlern Gliedern dieselbe Größe 
sich wiederholt, wird diese das arithmetische Mittel zwischen den 
äußern Gliedern und die Differenzgleichung eine stetige (stetige 
arithmetische Proportion) genannt. Dann wird der zweite der 
vorstehenden Ausdrücke, weil der Voraussetzung gemäß 
a — b = b — d, 
(3) a + d = 2b, also b — , d. h. 
3. Das arithmetische Mittel zwischen zwei Zahlen ist 
ihrer halben Summe gleich; z. B. wenn a—15, d—27 
gegeben wäre, b = j (15 + 27) = 21. 
(S. Aufg. 1-6, §. 70.) 
§. 67. Verhält«ißgleichungen. Ungleich wichtiger ist die 
Form a : b == c : d, worin zwei Quotienten einander gleichgesetzt 
werden, namentlich wegen ihrer vielfachen Anwendung auf Betrach 
tungen der Geometrie, weshalb man sie denn auch vorzugsweise eine 
geometrische Proportion genannt hat. Ist überhaupt von einer 
Proportion (ohne den Zusatz arithmetisch oder geometrisch) die 
Rede, so wird darunter in der Regel eine solche Form verstanden, 
und es wäre angemessen, das Wort allein in dieser Bedeutung 
zu gebrauchen, um die Irrungen zu vermeiden, welche leicht entstehen, 
wenn man dem nämlichen Worte in der Kunstsprache der Mathe 
matik zwei ganz verschiedene Bedeutungen beilegen darf. Aus 
dem nämlichen Grunde sollte man das Wort Verhältniß nie 
gleichbedeutend mit Differenz gebrauchen, sondern lediglich folgende 
Erklärung davon gelten lassen: 
Ein Verhältniß ist die Angabe durch Zahlen, wie oft ein be 
liebiges gemeinschaftliches Maaß in zwei gleichartigen Größen ent 
halten sei. So sagt man z. B., die Linie A verhalte sich zur Li 
nie L, wie 5 zu 20, wenn irgend ein Längenmaaß 5 mal in der er 
sten, und 20mal in der zweiten enthalten ist. Beide Zahlen werden 
TMqmpf's Mgtheniqtik. 4. Aufl. H