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1. Abth. Arithmetik. Grundoperationen. §. 68.
Glieder des Verhältnisses genannt, und eine dritte Zahl, welche
angiebt, wie oft das erste Glied in dem zweiten enthalten ist,
heißt der Factor des Verhältnisses, indem man durch diese Zahl das
erste multipliciren muß, um das zweite zu bilden. So ist
4 der Factor des Verhältnisses 5 zu 20, | derjenige des Verhält-
niffes 16 zu 12. Von diesem Factor unterscheidet sich der Quotient
des Verhältnisses als die Zahl, welche angiebt, wie oft das zweite
Glied im ersten enthalten ist. Factor und Quotient des näm
lichen Verhältnisses müssen also (nach §. 38) stets entgegengesetzte
Factoren sein. (S. Aufg. 7 u. 6, §. 70).
Da nun aber die Division zwei gleichartiger Zahlen (nach
§. 14, 1) gleichfalls als eine Messung angesehen werden muß,
wobei mau anzugeben hat, wie viel mal die eine Zahl (der Divisor)
in der andern (dem Dividend) enthalten ist, so kann das Verhält
niß zweier Zahlen a und b als gleichbedeutend mit dem Ausdruck einer
solchen Division, und folglich durch a : b oder (nach §. 22.) durch
angedeutet werden. Was früher über die Veränderung der
Bruch- oder Quotientenform (§. 23.) gesagt worden, gilt demnach
auf gleiche Weise von dem Verhältniß zweier Zahlen, wonach ein
solches ungeändert bleibt, wenn man beide Glieder desselben mit der
nämlichen Zahl multiplicirt oder dividirt. So ist z. B.
s : ab = 2a : 2ab — |a : |ab, allgemein = ka : kab, oder
3 : 9 — 6 : 18 — 21 : 63 «. s. f. Verhältnisse, wie die vorstehen
den, sind einander gleich, wenn der Factor (wie hier z. B. b
oder 3) in allen der nämliche ist. Eine Verhältnißgleichung ent
steht durch Zusammenstellung zwei gleicher Verhältnisse.
Stellt man deren drei oder mehre zusammen, so wird die Verhält-
nißgleichung eine fortlaufende genannt. (S. Aufg. 9—13, §. 70).
§. 68. Lehrsätze über Verhältnißgleichungen. Unter
den mannigfachen Umgestaltungeri, welche die allgemeine Form aller
Verhältnißgleichungen (geometrischen Proportionen):
(H.) oder a : b = c : d
zuläßt, sind vorzüglich folgende als die einfachsten und unaufhörlich
zur Anwendung kommenden zu beachten:
(1) ad — bc; d. h.
1. Die Producte der äußern und der innern Glieder
sind einander gleich.
Anmerkung. Dieser Satz läßt sich nicht allein durch Transpositivn
(nach §. 55. L. 4.), sondern auch aus der Form a:sk---v:ok einer
Verhältnißgleichung beweisen, da, (nach §. 12.) sxvt---akxv ge
setzt werden darf.