1. Capitel. Zahlensysteme. 
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men. H. 74. 
$. 76. 
ausgedrückt, daß 
den nebcngesetzte 
a . a . a = a 5 , 
tor, durch dessen 
rau vorzugsweise 
dadurch, daß sie 
ur Einheit setzen 
»vangzeiger ge- 
Nerkmal der Po- 
ruck für die Au 
ll H. 
gleichen Facto- 
bereits früher (§. 
ch Bezeichnung der 
in der abgekürzten 
zung mehrer glei- 
S eine Zahl hö- 
nrch Zerlegung 
Ranges, die den 
l gleiche Factoren 
g dieser Wurzel 
hl P ist demnach 
nheit die Zahl P 
Bestimmung einer 
(oder Depoten- 
Wllrzel aus P, 
factoren zur Ein- 
ist z. B. 
32 — 1/2 5 —2. 
gen Vorkommens 
>ung einer höher« 
potenzirung), als 
n gleiche Factoren 
swendig gegebene, 
Ȋngig von einem 
sselbeu gegebenen 
oder 81 — 3° , 
e Logarithmus 
eines solchen ist 
m — log. P a oder m = log. P. (bas. a), d. h. Logarithmus der 
Zahl P in Beziehung auf den Grnndfactor a, und aus ihr folgt 
unmittelbar die Gleichung a'° — P. 
§. 75. Rangoperationen. Die im Vorhergehenden ans 
dem Begriffe einer wiederholten Multiplication entwickelten Ausdrücke 
I. a" = P; II. l/P = a; III. n = log. P a 
enthalten die allgemeinen Andeutungen der, auf der Vorstellung eines 
verschiedenen Ranges der Zahlen beruhenden Operationen, nämlich 
der Potenzen-, Wurzeln- und Logarithmen - Rechnung, die man im 
Gegensatz der vier Grundoperationen, denen die Vorstellung von 
durchaus gleichartigen Einheiten zum Grunde liegt, mit dem ge 
meinsamen Namen Rangoperationen belegen kann. Die im Fol 
genden enthaltene ausführliche Betrachtung derselben hat die An 
wendung des Begriffs von Potenz und Wurzel auf die Ziffernrcch- 
nuttg, so wie die Verbindung, Umgestaltung und vermöge specieller 
Zahlenwerthe verschiedenartige Bedeutung der Ausdrücke I., II., III. 
zu verfolgen. 
Erstes Capitel. 
Die Zahlensysteme. 
§. 76. Einheiten des höheren Ranges. Wenn man, von 
der Einheit ausgehend, bis zu einer beliebigen Zahl a fortschreitet 
und mit dieser das unmittelbare Zählen beendigt, um eine solche Ab 
theilung von a Einheiten wiederum amal zu setzen und dieses Ver 
fahren unbestimmt zu wiederholen, so wird die Zahl a zur Grün d- 
zahl eines Zahlensystems. Die Abtheilungen, zu denen man auf 
diesem Wege gelangt, d. h. die wachsenden Potenzen 
l.a, l.a.a, l.a.a.a, l.a.a.a.a, l.a.a.a.a.a, ... 
oder a , a 2 , a 3 , a 4 , a s , .. 
können im Gegensatz zur ursprünglichen Einheit, von welcher man 
ausging, höhere Einheiten oder Einheiten höheren Ranges ge 
nannt werden, während man 1 als von gar keinem Range (vom 
Range 6) anzusehen und in der vorstehenden Reihe der Potenzen 
dlirch a° anzudeuten hat, indem dieser Ausdruck (nack §. 72) an 
gabt, daß der Factor a keinmal zur Einheit gesetzt werden solle. 
Die getroffene Wahl der Grundzahl bestimmt jedesmal das ganze 
Zahlensystem: denn es liegt in dem Begriff eines solchen, daß alle 
höhere Einheiten aus den nächstvorgehenden sich auf die