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3, 5, 7, 9, 11, 13, 40, 17, 19, 24, 23, 20, 27, 29, 31, 33,
30, 37, 39, 41, 43, 40, 47, 49, 04, 53, 00, 07, 59, 61, 93,
90, 67, 09, 71, 73, 70, 77, 79, M, 83, 30, 87, 89, 94, 93,
90, 97, 99.
Im löten Jahrhundert, zur Zeit des Descartes, nahm man die Zahlen
theorie wieder auf und zwar war es die Kenntnissnahme von des Diophantus
Schriften, welche den ersten Anstoss hierzu gab. Wir haben 2 Ausgaben
der Diophantischen Probleme aus jener Zeit, eine von Bachetus de Mezi-
riac und die andere, ungleich bedeutendere, von Fermat, Parlamentsrath
zu Toulouse. In den Noten zu letzterer finden sich viele Sätze über Prim
zahlen und ganze Zahlen, von denen der Verfasser den Beweis theilweise
nicht besass. Diese Sachen gingen nun auf die folgenden Mathematiker
über und erschienen so schwer, dass man, um sie zu beweisen, die ganze
Arithmetik schaffen musste. Diophantus sagt einmal, man zerfalle die Zahl
m 4 Quadrate. Daher scheint der Satz vorauszugehen, dass jede Zahl aus
4 Quadraten zusammengesetzt werden könne. Weiter heisst es, die Zahl
4n +1 ist immer die Summe zweier Quadrate. Fermat fügt hinzu, jede
ganze Zahl ist gleich der Summe von 3 dreieckigen, 4 viereckigen u. s. w.
Zahlen. Von diesen Sätzen hat Euler den einen: jede ganze Zahl sei gleich
der Summe von 4 Quadraten, zu beweisen versucht, doch fand den allge
meinen Beweis erst Lagrange. Den Satz, dass jede Zahl gleich der Summe
dreier dreieckigen Zahlen sei, bewies Gauss und den allgemeinen Beweis
für alle Fälle fand Cauchy. Die Methoden, die Fermat zu den Beweisen
anwandte, sind verloren gegangen, doch müssen sie sehr einfach gewesen
sein. Von den Sätzen, die er noch nicht beweisen zu können eingestellt,
haben sich mehrere als unrichtig gezeigt. So sagte er, die Zahl
(2*)
2 +1
. sei immer eine Primzahl, aber Euler fand, dass 2 32 4-l durch 641 theilbar
sei. Es finden sich auch bereits hei Fermat mehrere sogenannte negative
Sätze, welche die Unmöglichkeit gewisser Zahlformen aussprechen; z. B.:
die* Summe zweier gleich hohen Potenzen kann niemals wieder eine Potenz
desselben Grades geben, ausgenommen wenn der Exponent 2 ist. Euler
bewies diesen Satz für die 3te und 4te Potenz, Legendre für die 5te und
Dirichlet für die 14te Potenz. Wie ungefähr Fermat geschlossen haben
