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ihnen ergiebt sich, da wir die hypothetische Ungleichung u* <C w«+i haben,
P t n 11
— <C und dies hat die Ungleichung zu Folge:
U Wn+l
■ji /
> t n + u„~~.
u u n +1
Multiplicirt man dieselbe mit der am Ende des vorigen (Absatzes gefun
denen, so erhält man
(<f t n t Uji) ( t n -\-1l n t \ (M n +i t n £ n .|_i?< n ) / t n ~\~U n I
\ « / \ M «+l /
oder, wenn man die Multiplication ausführt, wobei die mittleren Glieder
sich rechts und links gegen einander aufheben:
2 v n~t‘ 2 ^ o ttn 2 f»+t 2
—¡¡i->
Subslituiren wir hier für t n 2 , f„+i 2 , f' 2 ihre Werthe m 2 +Du n 2 , m z -{-Dun+1 2 ,
m 2 -\-Du /2 , so erhält man nach einigen leichten Reduclionen:
w 2 <4 /2 — m 2 w )t 2 + Du' 2 u n 2 (m 2 — 1) m 2 u„+\ 2 —7n 2 u n 2 + Du n +i 2 » n 2 (w 2 — 1)
W' Mn+l
woher nach Multiplication mit u J u n +i und Zusammenziehung:
m
l u'u n+ i +m 2 u n 2 -f .D« / M„. +l M» 2 (m 2 —1) | | «'—w„+i |
>ü.
Nun ist, da m niemals der 0 gleich sein kann, die Grösse in der ersten
Doppelklammer links stets positiv; damit also ihr Product mit der zwei
ten Doppelklammer positiv ausfalle, ist notlnvendig, dass u 4 — w„+i gleich
falls positiv sei, d. h. dass man gegen die Voraussetzung n' habe.
Also giebt es ausser den YVerlhen, deren die Zahlenausdrücke t e und
u e fähig sind, keine anderen Lösungssysleme der Gleichung t 2 — Du 2 — m 2 .
4) Auflösung der Geich ung Ax 2 + 2Bxy-\- Cy 2 — M in rela
tiven P r i m zahlen für x, y, wenn die Determinante D posi
tiv und nicht quadratisch ist.
Sei irgend eine Lösung der Hülfsgleichung z 2 —D = Ms in den
kleinsten Zahlen dargestellt durch z — C, s=a, so handelt es sich darum,
alle nur möglichen Repräsentationen von M durch (A, B, C) zu finden,
welche dieser Lösung der Hülfsgleichung zugehören oder liirt sind. Denn
die Untersuchung der übrigen Lösungen wird ganz in gleicher Weise vor
sich gehen, und, wenn solche vorhanden sind, alle übrig gebliebenen Re
präsentationen liefern. Nehmen wir also an, die Form (A, B, C) habe
sich als aequivalent ausgewiesen mit der Form (M, £, a), d.h. es exi-
