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Konstruktion der Ellipse 
3. Aufgabe. Man bestimme den Ort der Punkte, für welche 
das Verhältnis der Entfernungen von einem festen Punkte und einer 
festen Geraden (parallel zur Ordinatenachse) konstant ist (vergl. § 9). 
Es entsteht eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem 
das konstante Verhältnis kleiner, gleich oder größer als 1 ist. 
4. Aufgabe. Man beweise, daß sich die Tangenten in den End 
punkten paralleler Sehnen eines Kegelschnittes stets auf dem der 
Sehnenrichtung konjugierten Durchmesser schneiden. 
Sind (ffj, y x ), (x 2 , y 2 ) die Endpunkte und (/, m) der Mittelpunkt 
der Sehne, also tgy = , so folgt aus den Gleichungen der 
X. 2 — X, 
Tangenten leicht, daß ihr Schnittpunkt sowohl auf dem Durchmesser 
als auf der Geraden: 
(Al -f- D) x + (Bm + E) y + 1)1 Em + F = 0 
liegt. 
5. Aufgabe. Man bestimme den Ort des Schnittpunktes der 
beiden Geraden, welche durch die Endpunkte der Durchmesser eines 
Kreises in je einer bestimmten Richtung gezogen werden. 
Man mache die Koordinatenachsen den Halbierungslinien des 
Winkels der beiden Richtung parallel. 
§ * 
Eigenschaften der Kegelschnitte, welche aus ihren auf die 
Hauptachsen bezogenen Gleichungen folgen, und ihre zeichnerische 
Darstellung 
Obwohl wir bereits in der Einleitung gelernt haben, beliebig 
viel Punkte jedes Kegelschnittes zu konstruieren und damit seine 
Gestalt zeichnerisch zu ermitteln, so werden wir doch besonders für 
Ellipse und Hyperbel einfachere Methoden hierfür finden, wenn wir 
von den auf die Hauptachsen bezogenen Gleichungen ausgehen. 
Wir fangen an mit der Ellipse. Ihre auf die beiden Haupt 
achsen bezogene Gleichung lautet nach Gl. (III) des vorigen Paragraphen: 
(I) — = 1. 
W « 2 ‘ b 2 
Es ist leicht zu sehen, daß diese Gleichung für jeden Wert des 
Winkels ifj befriedigt wird, wenn man setzt: 
(1) x = a cos xp, y = b sin xp. 
2 2 
Da jedes der drei Quadrate und in Gleichung (I) 
höchstens = 1 sein darf, so wird umgekehrt zu jedem die Gleichung (I)