Esistenza dell’ estremo libero assoluto 
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tegrale 3g nella classe <5C 
a alla (2) o alla (2') del 
limite inferiore i di 
Mostriamo subito (die i 
, dovendo esser« 1 « 
Rammentiamo ora l’ipotesi fatta che l’integrale elg sia 
quasi* regol are positivo, il che porta, per la proposizione del 
Voi. I, n.° 108, che esso sia una funzione semicontinua infe 
riormente della curva (E, nella classe delle curve ordinarie di 
lunghezza non superiore a d>(« -f~1). Se dunque prendiamo 
ad arbitrio un numero £ ;> 0, possiamo determinare un p>0, 
in modo che ogni curva ordinaria 0, la quale appartenga 
ordinatamente all’intorno (?) della C 0 , e«l abbia lunghezza non 
<«!>(- 1). 
superiore a d?(i -h 1), soddisfi alla 
^<2 0 < A- s. 
o modulo della funzione 
y') normalizzata ( 2 ) e p« j r 
tata «lei campo A, che 
si ha 
Ma, per essere la 0 O curva di accumulazione della suc 
cessione (2), esistono infiniti valori dell’indice n e per ciascuno 
di essi almeno una 0„, appartenente ordinatamente all’ in 
torno (p) della 0 O . Dalla disuguaglianza precedente e dalla (4) 
si deduce così 
3<2 0 — * A- £ > 
- 1) 
ed anche, essendo e arbitrario, 
>> (— 1), la (3) non 
VI 
che, qualunque sia la 
e 
Per essere la 0 O una curva della classe cK, è poi 
o*g > i, 
cosicché resta dimostrata 1’ uguaglianza 
-h 1). 
3g = i. 
insiemi ; 0„ ! lunghezza 
accessione (2) ammette, 
0 (Voi. I, n.° 25),continua 
me le 0„, al campo A. 
linaria (Voi. I, n.° 73) e r 
Il valore olg o è «lunque il minimo assoluto «li 0g in ¿K, e 
la 0 O è una curva minimante. 
Osservazione I — È evidente che la proposizione ora 
dimostrata vale anche se la (1), anziché esser soddisfatta per 
tutte le curve 0 della classe cK, lo è soltanto per le curve 0 n 
di almeno una successione minimizzante. 
ìi preceilula «la « Voi. I », si 
Osservazione II — Dal criterio qui dimostrato, segue, 
in particolare, che, se V integrale clg è quasi-regolare positivo, 
esso ammette il minimo in ogni classe completa di curve ordi 
narie 0, tutte contenute in una parte limitata del campo A e 
i -+-i/ ,2 = 1. 
tutte di lunghezza inferiore ad un numero fisso.