Rappresentazione approssimata con polinomi trigonometrici 
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64. - Applicazione al metodo dei minimi quadrati. 
Supposta la f(x) integrabile insieme col suo quadrato, in 
tutto (0, 2n), nel' n.° 56 abbiamo dimostrato che il polinomio 
trigonometrico, d’ordine n, ottenuto dalla f(x) col metodo dei 
minimi quadrati (cioè quello che dà con la f(x) il minimo 
scostamento quadratico medio) è precisamente il polinomio 
trigonometrico d’ordine n i cui coefficienti sono i coeffi 
cienti di Eulero-Fourier della f(x), in altre parole, tale poli 
nomio è la somma parziale (n H- s n (x), della serie di 
Fourier della f(x). Abbiamo anche affermato (sempre nel n.° 56) 
che lo scostamento quadratico medio di f(x) e Sn(x) tende allo 
zero per n —oo, ossia che è 
j [f(x) — s n {x)fdx ~0. 
(1) 
Vogliamo ora dimostrare tale affermazione, nel caso in cui 
la f(x) sia limitata in tutto (0, 2tz) ('). 
Fatta dunque P ipotesi supplementare che sia ! f(x) | < M 
in tutto (0, 2n), consideriamo il polinomio trigonometrico di 
Fejér, d’ordine n, della f(x), a n+ i(a?) (n.° 58). Dall’ osservazione 
del n.° 58, abbiamo che, qualunque sia n, è sempre [ a M+ i(a?) | <; M 
in tutto (0, 2tz). E poiché, come abbiamo rammentato, s M (a?) è 
il polinomio trigonometrico d’ordine n che dà con la f(x) 
il minimo scostamento quadratico medio, abbiamo senz ? altro 
27T 
— s n (x)fdx < I [f(x) — a n+ i(x)fdx. 
(2) 
o 
o 
Ma, essendo in tutto (0, 2u), qualunque sia n, 
[f(x) — o n +dx)f ^ 4M 2 , 
ed avendosi, inoltre, (teorema di Lebesgue, n.° 62), o n+i (x)—*f(x), 
in quasi-tutto (0, 2tc), dal teorema d’integrazione per serie di 
Arzelà-Lebesgue segue 
27T 
per n—oo. Dalla (2) segue perciò la (1). 
(6 II caso generale risulterà da quanto diremo nei n.° 83.