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Capitolo quarto 
Un esempio di tali serie è dato da 
OO 
s. 
s en nx 
log n ’ 
già considerata nel n.° 39. In tale n.°, abbiamo dimostrato che la serie ora 
scritta non è la serie di Fourier della sua somma. Ora possiamo aggiungere 
che essa non può essere neppure la serie di Fourier di un’altra funzione 
cp(x). Ed infatti, se fosse effettivamente la serie di Fourier di una fun 
zione cp(x), essa dovrebbe, per quanto si è detto nel presente n.°, conver 
gere, in quasi-tutto (0, 2n), verso la cp(ac). Questa funzione risulterebbe, 
pertanto, uguale alla somma della serie in quasi-tutto (0, 2n), e la serie 
sarebbe anche la serie di Fourier della sua somma. 
§ 2. Condizioni necessarie per le successioni di Fourier. 
76. - Limiti ili integrali trigonometrici. 
Abbiamo già rilevato che, scelta a caso una successione di 
numeri, questa può non essere una successione di Fourier (*). 
Si presenta quindi la questione di fissare le condizioni a cui 
deve soddisfare una successione per essere di Fourier. Per 
determinare una prima importante condizione necessaria, è 
opportuno studiare il limite di due integrali, e precisamente 
il limite, per oo, di 
b b 
j cp(a) cos na da, j cp(oc) sen na da.. 
a a 
Dimostriamo, perciò, il seguente teorema : 
Se cp(a) è una funzione integrabile nell’ intervallo (a, ò), è, per 
n—~ oo, 
(1) 
b 
cos na da 0, 
b 
j cp(a) sen na da — 0 ( 2 * ). 
a 
Dimostriamo il teorema per il primo integrale ; la dimostra 
zione è la stessa per il secondo. 
( 4 ) Un esempio di successione, che non è una successione di Fourier, 
è fornito dall’Osservazione del n.° precedente. 
( 2 ) H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques, pag. 61. Osser 
viamo che, in questa proposizione, n può essere un numero reale qua 
lunque, anche non intero.