Le successioni di Fourier 
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Supponiamo dapprima che la funzione cp(a) sia continua in 
(a, 6) e, preso un e positivo ad arbitrio, dividiamo (a, 6) in parti 
5 t , S w , su ciascuna delle quali l’oscillazione della cp(a) 
sia minore di e. Indicati con <p 1 , cp 2 , ...., cp m i valori che la cp 
assume nei primi estremi dei § g , abbiamo 
b 
C m C 
I cp(a) cos na da — ^ I (<p, 4- cp — cp 4 ) cos na da = 
« 8=1 Ìs 
m m ~ 
—2 9« I cos noi da 4-^] I (cp — cp,) cos na da, 
S~1 d s=l% 
ed essendo, in ¡9 — cp # | e, otteniamo 
0 
m r* r* 
I (cp -— cp s ) cos nada < e I j cos na | da <T e(ò — a). 
8—1 ? n. 
È poi 
f A ( 
Icos nada = 
'sen. na 
<1 
e percio 
ni f 
,?4 
S ~ 1 S s 
cos na da 
< 
2 
n 
dove <D indica il massimo modulo di cp in {a, b). È, pertanto, 
b 
cos na da 
2m $ 
< e(ò — a) 4 < e(ò — a 4- 1), 
Yt 
per ogni n n 0 
2ni& 
. Il teorema è dunque dimostrato, nel 
caso di cp(a) continua. 
Veniamo ora al caso generale. 
Indichiamo con cp p (a) la funzione =<p(a) ove è —i><cp(a)<^>, 
= —p ove è cp(a) <—p, =p ove è cp(a) > p. Abbiamo 
b b b 
1 cos na da —J cp i> (a) cos na da 
u 
I j#*)' 
u u 
<JI ? — «Pi» I da. =J| I cp I — I cp p I \da,