Le successioni di Fourier 
259 
e siccome si ha 
2tt 
) s 2 n dx < 1 s 2 n dx = \ a\ 4- S 4- b 2 r ) < J aj 4~ 2 (a 2 r 4- &J) = L, 
J J " r=l ¿ r=l 
2(0,-, 6,) 0 
viene 
2 1 &№<) - SJa,) ! àl/iiii,-«,), 
¿=1 r ¿=1 
da cui, per w —oo, 
y ” v f m 
L S (6, - «,), 
* = 1 
e ciò prova l’assoluta continuità della $(a?) in (0, 2tc). La S(x) 
ammette allora derivata finita in quasi-tutto (0, 2iz). Dalle (1) e 
(2), segue poi 
S n (x) — a 0 x 4- ^ (—■ sen rx (cos rx — l)ì ; 
r— lA V Y j 
e poiché S»{x) converge uniformemente, in tutto (0, 2n), verso 
S(x), risulta, per n — oo, 
1 00 A 
S[x) — ^x-{- 
a r b r 
— sen rx 
y* /y* 
ossia 
S[x) — | a 0 x = 2 (■ 
a r h r 
— sen rx 
y y 
(cos rx — l)j 
(cos rx — l)j, 
dove la serie del secondo membro è uniformemente convergente. 
oo ^ 
Osserviamo che la serie ^ — è assolutamente convergente, 
perchè si ha 
IK 
\ (&; 'L ^j e la serie 2 b 2 r è convergente, 
essendo convergente per ipotesi 'Z{a 2 -\-b 2 ì ). Possiamo dunque 
scrivere 
1 oo i oo / 
(3) S(x) — = a,x — 2 -r = 2 L 
- 1 i A 1 \ 
by OLy 
— cos ra? 4 sen rx |, 
/y* /y i y 
dove la serie del secondo membro converge uniformemente in 
tutto (0, 2n). Tale serie è, perciò, la serie di Fourier del primo