t 
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Le successioni di Fourier 265 
Ed infatti, per la trasformazione di Brunaeci-Abel, si ha 
2 7T=2 ! - a » + ( i+ 2 + •••■ + s) ! ++ \ + à) 
e perciò 
m /4 1 \ oo 
S j (“» - a »+‘* (l + 2 + •••• + -) | < S ^ • 
È dunque convergente la serie che ha per termine generale 
j a n — a n+ i j^l H- | e tale è perciò anche la serie 
2 | a n — cin+t \ log n. 
ì 
E siccome dalle condizioni sopra poste segue necessariamente 
a n -~0, le ipotesi del teorema dimostrato in a) sono tutte ve 
rificate. 
oo 
Per esempio, la serie 2_i 1 con x > ò> risulta, in forza del corol- 
i 
lario ora provato, la serie di Fourier della sua somma, la quale è finita 
e continua in ogni punto interno a (0, 2n), in virtù del n.° 14. 
c) Se è b n —0 e se la serie 2 j b n — b n+ 11 log n è convergente, 
la serie 
(5) 2 b n sen nx 
è una serie di Fourier. 
Posto 
<3 m (x) — sen x -+- sen 2x -+- .... 4- sen mx, 
abbiamo (n.° 11) 
m ni -t~ 1 
Vm{x) 
sen x sen —^— x 
sen 
x 
dx 
e perciò 
7T 
J | Vm{x) I dà 
0 
<i+£ log m, 
analogamente a quanto abbiamo veduto in a). 
ri 
m 
TZ | - 
sen x 
J x 
2 
0